浅野です。
語源や似たような語句の違いに着目しています。その場でうまく答えられなかったものをここに書かせてもらいます。
「調べる」という意味でcheck outとcheck upはどう違うのかというのはとても難しい問題です。少しインターネットで検索しただけでは定説が見つかりませんでした。check outのほうが口語的だとか、イギリス英語的だとか、いろいろな説がありました。find outやfigure outからの類推でcheck outは理解に重きが置かれ、take upやset upからの類推で着手することに重きが置かれるのではないかと個人的には推測します。