福西です。6月22日の記録です。この日、3年生には、『原論』の命題3.12と3.25を証明してもらいました。
命題3.12は、原型では「もし二つの円が外側で互いに接するならば、それらの中心を結ぶ線分は接点を通るであろう」なのですが、次のように言い直してから、考えてもらいました。
（命題3.12改）
「ある円が与えられたとき、その円周上の任意の点における接線を作図せよ」
また命題3.25は、
「円の切片が与えられたとき、その切片を含む完全な円を描くこと」
とあります。要するに、途中まで描かれた円の切れ端があって、それを完全に復元するにはどうすればよいか？ というのが今回の問題です。
3年生のA君は、「3.12は簡単そうに見えて難しそうなので、3.25から証明します」とのことでした。
ヒントとして、「円を定めるために必要な情報は二つだけであり、それは何か？」と示唆したのですが、A君はそのことをすでによく理解していました。すなわち、「円は、中心点と半径とが与えられれば描ける」ということです。（なぜなら中心点から等しい距離の点の集合が円だから）。そこで、復元すべき円の中心点をまず定めることを考えました。
その時に役に立ったのが、垂直二等分線の作図方法でした。ちなみにA君はそれを１年生の時に、命題1.10、1.12のあたりで二等辺三角形の性質としてすでに証明しています。ですので今回それを使って良いというわけです。
（以下は記憶をもとに書いたので、オリジナルと若干の誤差があるかもしれませんが、ご了承ください）
命題3.25 Ａ君の作図方法
１）与えられた円の弧（切片）の両端にある二点をA、Bとし、弦ABに垂直二等分線Lを引く。直線Lと弦ABとの交点をC、直線Lと弧ABとの交点をDとする。
２）新たな弦DBについても垂直二等分線Mを引く。
３）直線L、Mの交点をOとする。
４）点Oは、作図すべき円の中心であり、また線分OA（＝OB＝OD）は作図すべき円の半径である。
５）点Oを中心に、OAを半径に取って円を描く。これは与えられた円の弧とも完全に一致する。これが作図すべきものであった。
点Oが作図すべき円の中心であることの証明
１）直線Lが弧ABの垂直二等分線であることから、三角形OABは二等辺三角形。すなわちOA＝OB。
２）直線Mが弧DBの垂直二等分線であることから、三角形ODBは二等辺三角形。すなわちOB＝OD。
３）OA＝OB、OB＝ODより、OA＝OD。すなわち点Oは、弧AB上の3点から等しい距離にあるので、弧ABを持つ円の中心である。
幾何の証明ではいつものことですが、３）にあるような三段論法がとりわけ美しいと思います。
これで命題3.25の作図方法は証明されました。
一方3.12ですが、この時のA君にはもうすでに分かっていて、「垂直二等分線を使ったら、同じようにできる」とのことでした。さっそくA君は円を描いていました。
命題3.12 A君の作図方法
１）与えられた円の中心をOとし、点Oを通る直線Lを引く。また直線Lと円との交点をAとする。
２）直線L上に、点Aから半径OAと等しい距離に（点Oの反対側に）点O’を取る。
３）線分OO’の垂直二等分線Mを引く。これが作図すべきものであった。
（直線Mが線分OAに対し垂直であることから、円の接線であることは明らか）
はい。それでよいです。