浅野望です。「球の表面積と体積がなぜこの式で求められるのか理解できない」との質問を受けました。
高校以降で習う積分というツールを使わない，ラフな証明をしました。表面積の公式（4πr2）が求められた前提で，体積についての証明を以下に記します（表面積も説明できるのですが，ここで書くには分量が多いので割愛させていただきます）。
球体の表面を格子柄のように細かく四角形に分割します。細かく細かく分けると，分けたところの表面は平らになります（地球は遠くから見ると丸いですが，私たちの感覚では表面は平らです）。
そのうち1つの四角形（これは 四角形1 と呼びましょう）の表面積を s1 と置き，四角形1 の頂点から球体の中心に線を伸ばすと，それは半径（以下，r）を高さとした四角錐です。その体積は，
s1 × r ÷ 3
と，表されます。もし仮に，球の表面を n 個（いっぱい）の四角形に分割したとすると，それぞれについて上記の同じように四角錐をつくり，足し合わせてやると，球の体積が出ます。
(s1 × r ÷ 3) + (s2 × r ÷ 3) + ・・・ ＋(sn × r ÷ 3)
分配法則の逆より，
☆ (s1 + s2 + ・・・ + sn) × r ÷ 3
ここで，
s1 + s2 + ・・・ + sn = 4πr2
より，☆ 式に代入すると，球体の体積の公式，
4πr3 / 3
が出ます。