福西です。
今回は幾何をお休みして、代わりに、以前小学４年生のかずクラスで問題にした「ブラフマンの塔」（64段のハノイの塔）の問題を出してみました。３年生のＡ君が率先し、１年生のＲ君がそれをフォローするという形で、以下のように考えてくれました。それが、今まで私の考えたことのない方法（着眼点）だったので、驚きました。
Ａ君の考え 「それぞれの円盤を最初に動かした時は何手目にあたるか？ に着目する」
円盤
１枚目（一番上） …１手目で最初に動かす
２枚目…２手目で最初に動かす
３枚目…４手目で最初に動かす
４枚目…８手目
５枚目…１６手目
…
というように、ちょうど「２の倍数になっている」ことに気付いてくれました。
そして、５枚の例だと、５枚目（一番下）の円盤を動かした（16手目）後の手順は、16－1手かければよいので、全部で16×2－1＝31手と求まります。
つまり、2×2^(n－1)－1＝2＾n－1です。このように、あっさりと法則を見つけ出してくれました。
以前、小学生たちの見抜いた法則は、５枚の円盤の場合は、16＋1＋16=31という「左右対称」のとらえ方でした。これも結果は2^n-1となり、同じ法則を表していることになります。
さて、法則はこのように「つかまえた」のですが、まだそれの計算が残っています。ブラフマンの塔は64段あるので、2^64-1を計算しなくてはなりません。実際にしてみれば分かりますが、それはとても大きな数になります。（そして非常に手間がかかります）
ここに、「法則はわかっていても、答がすぐに出てこない」という、実際的な問題が生じます。では、実際、どのようにすれば計算できるのでしょうか。生徒たちは、次のように考えてくれました。
step1 32段まではひたすら計算する。
結果：2^32－1＝4294967295
この結果に至る途中で、「2^n－1の１の位は、１、３、７、５、１、３、７、５・・・を繰り返す」という副産物的な法則も見つけてくれました。素晴らしい知的好奇心の発露です。
さて、次です。
step2 2^64＝（2^32)^2であることに着目する。
結果：2^64－1＝4294967296×4294967296－1
また、１年＝31536000秒
実際、2^32まで計算し、その次また２倍、２倍…としていくことは、非常に骨が折れます。そこではたとＡ君が気付いたことには、（2^32）の二乗がちょうど2^64となっている、ということです。ということは、上のように4294967296をもう１回かければ、2^64は求められることになります。
これでだいぶ手間は減ったとはいえ、それでも4294967296×4294967296をするのは、大変です。そこで私から一つ、ぜひとも知っておいて欲しい数学的な道具を教えました。「評価」という方法です。
step3 不等式で「評価」する。
結果：ブラフマンの塔の並べ替えにかかる年数は、5000億年～6000億年（12桁）である。
今、問題に対して、真値（厳密解）は知る必要はありません。つまり、「何年かかるか？」という質問には、1000年、あるいは10000年といった、その桁数（オーダー）を答えられれば十分です。このような場合、
a×10＾m＜真値＜b×10^m （ただし1<a<b<10）
というように、両側から「不等式で押さえる」ことを考えます。もし上の式のように、「左もm+1桁、右もm+1桁」という「同じ桁の数字」でおさえられたとすれば、真ん中にはさまっている「真値も、m+1桁」と特定することができます。
ここで、活躍するのが、小学生のときに習った（あまりその便利さにぴんとこなかった）、切り捨てと切り上げです。
以下、生徒たちの計算結果を示します。
（下限の計算）
4294967296＞4000000000＝4×10^9
4294967296×4294967296＞16×10^18＝1.6×10^19
31536000＜32000000＝3.2×10^6
1.6×10^19/3.2×10^6＝0.5×10^12＝5×10^11
（ここで、分母を大きくとると、全体が小さくなることに注意する）
（上限の計算）
4294967296＜43×10^8
4294967296×4294967296＜（43×10^8）×（43×10^8）＝1849×10^16＜1.85×10^19
31536000＞3×10^7
1.85×10^19/3×10^7＜6×10^11
よって、5×10^11＜真値（2^64－1）＜6×10^11
となり、12桁（5ないし6のうしろに0が11個並ぶ）。すなわち5000億年～6000億年である。
以上が、中学生クラスで求めてくれた結果でした。