ユークリッド幾何

　さて、授業で配ったプリントでは以下のように表現しています。

『原論』1-29
ℓ、ｍが直線で平行ならば、それによってできる同位角は等しい。

図において、等しいことを示すべき角は、aとbです。

K君がこの日はお休みだったので、以下、H君とA君の証明に限って掲載します。
原文はそのまま、（　）内は私の補足です。

（Ｈ君の証明）
　
Ａ、Ｂは平行にする。Ａ、ℓが交わったところにできる角は同じである。
Ａ、mが交わった所にできる角度は同じである。

赤（上側）の平行四辺形を見てください。平行四辺形は向かい角が等しいのでx=y=a。（図につけた色はコピーのため白黒です）

同様にピンク（下側）の平行四辺形ではx’=y’=b。

同様（に）緑の（一番外側の大きな）平行四辺形ではx=y’、x=a、y’=b　だからa=b。
Q.E.D.

平行四辺形を３つ使った、「Ａ＝Ｂ、Ｂ＝Ｃ、ゆえにＡ＝Ｃ」という三段論法が実に鮮やかです。平行四辺形を２つ並べ、それ全体によってできる大きな平行四辺形に注目したことがポイントです。

もちろん、これには「平行四辺形の対する角が等しい」ということを先に証明しておかなければならないのですが、それは後で証明するとして、まずはこの論理の快刀乱麻ぶりに感心しました。

そしてＨ君は、すぐに同位角の言い換えである、錯角の場合も証明してくれました。

最初は前と同じ苦労をしなければならないのかと思って、一歩を踏み出しにくそうでしたが、実は先に証明した事柄が「魔法」のように使えるので、むしろ証明はより簡単にできるのです。

同位角でx=y=bができる。
対頂角でy=aが分かりy=bだから、
b=a

Q.E.D.

そうです。これでいいです。
「ほんまにこんだけでいいの？」「もちろん」「なんや、簡単やなあ！」とＨ君は喜んでいました。答案に大きく書いたQ.E.D.が頼もしく感じられました。

表記が簡単でも立派に１問を解いたことになります。もしこれが仮にテストだとして、同じ点数配分だったら、せっかく前に苦労した分、問２にあたるこれも解かないと損ですね。

一方Ａ君は、図をあくまで補助として、「言葉」をふんだんに使って証明してくれました。黒々とした文の塊が、いかにも『原論』らしい美しい解答だと思いました。

（Ａ君の証明）

（本文）

（図１）

図１の状きょうではＡ＝Ｂです。線Ｇを二つに分けると図２になります、このとき線Ｐと線pは平行になるように細心の注意を払います。

（図２）

線Ｑと線qをそれぞれのばすと線Ｑ、線qは平行になります。すると、線Ｐと線p、線Ｑと線qはそれぞれ平行なので平行四辺形Ｔができます。

線pは直線なので（その間の角は）180°です。180°-Ｂ＝Ｃなので、Ｂ＝Ｃ（注：Ｂ＋Ｃ＝１８０°の書き間違い）になります。

平行四辺形の向かいあう角度は同じなのでＣ＝Ｅになります。180°－Ｅ＝Ａになります。この計算式を書きかえると、180（°）－C＝Ａ、Ｃ＋Ａ＝180（°）となります。

そうなると、（以下の計算より）Ａ＝Ｂになります。

１８０°－Ｂ＝Ｃ　　（…１）

Ｃ＝Ｅ（より）、１８０°－Ａ＝Ｅ＝Ｃ
１８０°－Ａ＝Ｃ　　（…２）

（（１）と（２）より）
Ａ＝Ｂ

Q.E.D.

Ａ君は、特に「自分で仮定すること」と「仮定の結果から導き出されるもの」の区別を、また「これから証明すべきことがら」（従って使ってはいけないことがら）と「先に証明して使っても良いことがら」とを峻厳に区別しながら、筋道を立てて証明してくれました。そのことが実に素晴らしいです。上の「平行になるように細心の注意を払います」という表現に、「自分はそのことが分かって気をつけているんだぞ」という、意気込みが現れているように感じます。

線分にＧやPとp、Ｑとqといった命名も、自分で指定できるものであり（細かく言えばそれにも一応のルールはあるのですが）、ここでは縦横に理論を駆使している様子が頼もしく感じました。どうやらＡ君は哲学に興味があるようで、こうした文章を書くことは好きなようです。

Ａ君の証明にも、Ｈ君と同様、先に「平行四辺形の向かい合う角が等しいこと」を証明しておかなければならないのですが、それがあれば完璧です。

また、Ａ君も余勢を駆って、錯角の場合も証明してくれました。

図１は同位角（が等しいこと）からの図です。まず、a＝bであることがわかります。
図２は同位角と対頂角をあらわしました。a＝cでb＝dになります。
a＝c、b＝d（対頂角）
a＝b（dはbの書き間違い）、c＝d（同位角）
c＝b（これが示すべきことである）
Q.E.D.

答案では表記にやや混乱がありますが、同位角と対頂角を組み合わせて錯角が等しい（b＝c）ことを述べています。

次回もまた、今回得た達成感を弾みにして、果敢に証明に挑戦してください。Ａ君曰く、「今回証明したことがらでどこまで証明できるのかが楽しみ」だそうです。その意気や良し！