ユークリッド幾何（0918,25）その１

福西です。

各自、ユークリッド『原論』の第１巻の命題を一つずつ証明しています。

R君は命題27の錯角についての証明をした後、続いて28、30、31と証明していきました。

命題28は同位角についてです。

一つの直線が二つの直線と交わっていて、それらが作る同位角が等しいとき、あるいは内角の和が二直角に等しいとき、その二つの直線は平行である。

ここでR君は１つ前にした命題27（錯角）の使い方にしばし悩んでいたのですが、「対頂角が等しいこと」（命題15）を使うことを思いつき、以下のように考えをまとめてくれました。

使える条件は「同位角が等しい」

→これを「対頂角が等しい」（命題15）を使って、「錯角が等しい」に変換する

→「錯角が等しければ平行」（命題27）

→だから「平行」

と。

また後半の「あるいは」の部分についても、使える条件を「内角の和が二直角」からスタートして、同じ結論に達してくれました。

そして次の命題30が、今回すごく「面白いなあ」と感じる問題でした。

同じ直線に平行な二つの直線は平行である。

まずはじめに一本の直線lを引き、そのlに対して平行な直線mを、lの上側に引きます。そして同じくlに対して平行な直線nを、今度はlの下側に引きます。そして、

l//m、l//n⇒m//n

ということを示します。まるで三段論法のような構造をしていますね。

それは一見当たり前のように見えるのですが、そこで補助線を一本思いついて、かっちり、かっちりと説明していくところに、「ああ、幾何学をやってるなあ」という実感がありました。

これに対するR君の証明が、ほぼ自力でできており、R君も自信がついたようでした（輝いていました^^）。とりわけ、出発点である三本の直線をl、m、nと自分で命名すること、そして、命題15（対頂角）より」「命題27（錯角）より」と、論拠を書き示している点に、しっかりとできていることを感じました。

その余勢を駆って、次の作図問題である命題31もクリアできました。

与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線を引くこと。

日常ではよくしている作業なのですが、実際、「本当に」平行な線を引こうとすると、ちょっと立ち止まって考えないといけません。

R君は、コンパスを使って、まず与えられた点を通る垂線を引きました。そして次が難しかったのですが、その垂線に対してまた垂線を引くことを思いついてくれました。そして、この２回目に引いた垂線が、今書かれるべき線だったことになります。残る問題は、それがちゃんと平行になっているかの説明です。

これがちょうど命題27（錯角）のいい応用問題になっていました。

錯角が等しければ平行だというのは、すでに知っているわけですが、そこで、任意の角度で表現されている「錯角」に、あえて特殊な「直角」を持ってこれるかどうかが、発想の転換となります。

つまり上の作図で垂線を引くことでできた二つの直角が、錯角になっており、直角でももちろん、命題27は成り立ちます。よって、平行だと言えるわけです。

これの達成感もまたひとしおでした。

一方のA君については、このあと稿を分けて書くつもりです。