福西です。5/7の記録です。
Y君には先週したいと言っていた「ナイトの周遊問題」をしてもらい、その間、H君とは前回の終わりにした、「２１ゲーム」（石取りゲーム）の続きを考えました。（あとでY君も合流して一緒に考えました）。
ナイトの周遊問題は、チェスのナイトの動きをしながら、スタートからゴールまでたどり着くというパズルです。問題用紙は「こちら」にあります。よかったら、みなさんも一度挑戦してみてください（^^）。
Y君はさっそく「これ、面白いなあ！」と言ってくれたので、持って来てよかったです。低学年には学齢的にちょっと難しい問題ですが、Y君は5年生ということもあり、またチェスを知っているようでしたので、割合サクサク解いてくれていました。ゴールにたどり着くためには、その１手前にはどこに着地すればよいか？という逆思考や、筋違い（１マス違い）を解消するためにあえて遠回りするところに、このパズルの面白さがあります。Y君もそこを気に入ってくれたようでした。
さて、H君の方はというと、21パズルのとっかかりをつかんでもらうために、10個でしてみました。以前、「5個で手番を渡されたら負ける」ということを確認したので、自分がその５個にするにはどうすればよいかを考えてもらいました。その結果、自分が9個にして相手に手番を渡せば、相手が1個取ろうと、2個取ろうと、また3個取ろうと、どの場合であっても、自分は（3個まで取ることで）5個にして相手に手番を渡すことができる、ということにH君は気付きました。
「じゃあ、10個でスタートするこの場合は、先攻後攻のどちらがよいでしょうか？」と尋ねると、H君は「先攻！」と勢いよく答えてくれました。そして「じゃあ、先攻で何個取ればいいでしょうか？」という質問には、これまた即座に「１個取ればいい」と。
そうです。つまり、相手に「最後の１個」を取らせるためには、自分の手番で５個を作り、その５個を実現するためには、その前の手番で９個を作ればよいことになります。こうして考えをまとめていくと、次第に「ある数字の並び」が、見えてきます。
その数字の並びを自分で見つけてもらいたかったので、もうしばらく試行を続けることにしました。次は、１５個で考えます。この場合、先攻、後攻、どちらが有利でしょうか？
数が多くなって、紛れの要素が増えた分、Ｈ君はしばらく「うーん」と考えをめぐらせていましたが、このパズルは、負けても実はそれがヒントになります。つまり、相手の勝ち方を見て、それを「真似」すればいいわけです。そしてＨ君は、私がいつも「１３個」を作って勝っているのを観察して、それを見抜き、この場合でも私に勝つことができたのでした。
こうして、
１→５→９→１３
という数の並びが見えてきたことに、Ｈ君は「ああ！そっか～！」と大きく合点してくれました。
ここで、Y君が合流し、さっきH君が見つけた「法則」を、H君の口からY君に教えてもらいました。そしてそのことを共有できたところで、今度は二人チームになって、いざ、２１個の場合で私と対戦してもらいました。
そして、前回は私が一方的に買っていたのですが、とうとうこの日、私がついに敗れることとなりました（^^）。
ちなみに、この場合の必勝の数字は、
１→５→９→１３→１７→２１
となるので、先攻、後攻のどちらを取ればいいかというと・・・。
「後攻！」
と。以下に確認してみます。
私が先行で１個取った場合は、２１→２０となるので、生徒チームは「３個」取れば、１７個。上に書いた「数の軌道」に乗るので、生徒チームの必勝です。
私が２個取って２１→１９した場合は、生徒チームは「２個」取れば、これも１７個で必勝。
私が３個取って２０→１８とした場合は、生徒チームは「１個」取れば、同様に勝てます。
そして、これで「すべての可能性を考えつくした」ので、「後攻が必勝」と言えるというわけです。
さらに、この事から敷衍して、２１個よりももっと大きな数の場合、たとえば２５個の場合ならどうなるのかということも考えてもらい、また１００個の場合でも、同じようにして勝てるんだということで、大いに自信をつけてもらいました。
またお家の人と、ぜひ（法則を忘れた頃に（笑））やってみてください。