福西です。
前回の続きで、『足し算パズル』に出てくる、「数の組み合わせ」について考察しました。
ルール１ １～７までの数を使う
ルール２ 同列に同じ数は使えない
この条件のもとで、「合計が１４になる足し算、あるいは引き算は何パターンあるか？」を考えます。
まず、マス目が次のような場合は、０パターンであることを確認しました。
□□
理由：合計が１４になる計算は、一番大きい数である７を使わないと表せない。仮に６を使うと、６＋７＝１３で、最大でも１３までしか表せない。だから、７＋７＝１４しかありえない。けれども、一列に同じ数は入れられない。よって、１４は作れない。
では、以下のようなマス目で合計１４になるのは、何パターンあるでしょうか。
□□
□
実は、一つや二つどころではなくて、たくさんあります。それを生徒たちに「すべて」考え抜いてもらいました。
ちなみに答の書き方で、R君が
□□ □
□ □□
という書き方をしているのが賢いなあと思いました。（それを隣のSちゃんも真似てくれていました）
では、まず、真ん中のマス目に「７」が入った場合を考えましょう。
７□
□
使える数は１～７ですが、一列に同じ数がかぶってはいけないので、７はもう使えません。よって、１～６で考えることになります。
この時、次のように考えている生徒がいました。
残りの二つ分はいくらかというと、１４－７＝７。
ということは、合計（差）が７になるような二つの数を考えればよい。
これは先週考えた２マスの場合とほとんど同じ状況です。（ただし今度は同じ数を使っても良い点が異なります）
よって、□二つの数の組み合わせは、
「１、６」
「２、５」
「３、４」
の３パターン。そして１⇔６のように数を入れ替えても別のパターンになるので、合計３×２＝６パターンです。
実際に書き出すと、以下のようになります。
「７１６」、「７６１」、「７２５」、「７５２」、「７３４」、「７４３」
（716の6は、下の段と思ってください）
これと同じように、
x□
□
（x＝1～6）
について考えていきました。結果は以下の通りです。
x=7 ６パターン （761、716、752、725、743、734）
ｘ＝6 ５パターン （653、635、644、617、671）
x=5 ４パターン （563、536、527、572）
x=4 3パターン （437、473、455）…446が作れないので特異的
x=3 ４パターン （347、374、356、365）
x=2 ３パターン （257、275、266）
x=1 ２パターン （167、176）
計 ２７パターン
予想では、xが小さくなるにつれてパターンが１ずつ減る、あるいは単調減少すると思われたのですが、x=4のところでその予想が破れています。それが面白いとも気持ち悪いとも感じるところです。
この日は、T君がいちはやく正解にたどり着いたので、彼には特別に「□□□で14を作る場合と、上のＬ字の場合と、どちらがパターンを多く持つか？」と質問しました。これには、T君は「Ｌ字の方が多い」と予想を立ててくれました。「なぜなら、□□□の方は、一列の中に同じ数が使えないので、数の組み合わせが減るから」と。なるほど。
そこで、では「どれくらい違いがあるか？」と、質問を変えました。
するとＴ君は、□□□＝１４について、
「７６１」「７５２」「７４３」「６５４」
と求めてくれました。そして、
「あ、でも待てよ？ ７６１と７１６を別のパターンに数えたら、もっと多くなるかも・・・」
ということに気付いてくれました。
さて、３つの数の組み合わせは、なんと６パターンもあります。
ということは、上の４つの種類に対し、それぞれ６倍のパターンが存在することになります。
つまり、
４×６＝２４パターン。
というわけで、若干、それでもＬ字の方が多いことが分かりました。（あくまで１～７までの数を使った場合です）。それなので、Ｔ君の予想に反して「圧倒的に少ないわけではない」ということが確かめられました。実は、私もその答を知りませんでした。というわけで、深いところまで考察してくれましたね、Ｔ君！
残りの時間は、『QUART！』というパズルをしました。それについてはまた別の稿に譲ります。