福西です。引き続き、秋学期の最終日の記録です。
この日（11/22）は、前の週にした「扉の書」の最後にあった証明問題がいとも簡単に解かれてしまったので、それの条件をもう少し複雑にして、論理パズルとして出しました。
問題文
「目の前の4つの箱には、それぞれ赤白黒の玉が2つずつ入っている。そのパターンは赤赤、白白、黒黒、赤黒が1つずつである。もともと箱の外側には中身を示すラベルが貼ってあったが、残念ながら、私が「すべて」その中身と一致しないように貼りかえておいた。
さて、その箱から、ためしに2度まで、玉を1つ取り出してもよい。（ただし中身を見てはいけない。またその玉は1回取るごとに元に戻さねばならない）。そして心ゆくまで考えてから、本番の玉を1つを取り出すのだ。もし白が出れば元の世界に戻れよう。だが赤か黒が出れば、ここに永遠に取り残されるのだ」
[箱A] ラベル：赤赤 [箱B] ラベル：白白 [箱C] ラベル：黒黒 [箱D] ラベル：赤黒
この問題に対する、生徒たちの解答です。
注：（ ）は私の注釈です。
- To.君の解答
まずＢは白白なので白が出てこない。パターンは赤赤・黒黒・白白・赤黒のみだから。
Ｄ（のラベル）は赤黒なので赤赤・黒黒・白白なので最初にひく。赤か黒だったら、Ｄには白はないので（白白は）ＡかＣになる。逆に白がでたらＤは白白になる。
Ａ（のラベル）は赤赤なので、黒黒か白白か赤黒なので、黒か赤が出ればＡに白はない。逆に白が出れば、Ａに白白がある。
Ｃ（のラベル）は黒黒なので、赤赤・赤黒・白白なので、赤か黒が出れば、Ｃに白はない。逆に白が出れば、Ｃに白がある。
結論
まずＣをひいて白が出ればＣに白白がある。赤か黒が出ればＣに白はない。（Ｃで）赤か黒が出れば次にＡ・Ｃをやる。赤か黒が出れば、もう一つの方が白白。逆に白が出ればそこは白白。
- Ta.君の解答
Ｃ＝Ｏとする。（これはTa.君の好みによる定義）
ぼくは、このパズルでは、箱Ｂは白白となっているが、（ラベルは中身と必ず不一致のため）白白の時は、ぜったいないと考えた。
そしてＢ以外Ｏ、Ｄ、Ａ（について）、まずＤをためす。Ｄで赤がでれば、（Ｄのラベルは赤黒であり、それは「赤黒ではない」ということなので、Ｄの中身は）赤赤けってい。そしてＯをためす。それは、赤赤がないからだ。つまり（Ｏで）赤、黒が出れば、（Ｏは赤黒か黒黒と分かるので）本番でＡを引けば白をぜったい引ける。
また、Ｄで黒がでれば、こんどは、Ａをためす。そして、赤か、黒を引けば、Ｏを引けばよい。
また、Ｄで白がでれば、もう（Ｄが白白と分かるので）Ｄを引けばよい。
- Ka.君の解答
（箱の中身はラベルと違うものに）すりかえられているからまずＢはなくなる。なぜならＢのラベルには白白とかいていた。つまり赤赤か黒黒か赤黒になる。つまり白ではない。
２回ひけるのだからＡとＤをひくとしよう。Ａをひいて白がでればＡが白白、ちがう色がでればＡ（が白白という可能性）はきえる。Ｄで白がでれば白白、ちがう色が出ればＣが白白になる。これは仮の話。他の（パターン、すなわちＡとＣ、あるいはＣとＤ）をひいても同じ。（つまり白であるか否かに注目すればよい）
[コメント]
三人とも、「ラベルがすべて偽である」という点に着目して、条件を整理して解いてくれていました。ポイントは、「白白」というラベルの箱はすなわち「白白」ではないということです。それを貴重な２回の試行から外すことで、残りの３つの箱のうち２つを選び、もしどちらも色の玉が出たら「白白」は残った一つの箱、そして白が出たらすなわちその時点でその箱が「白白」である、という結論に達しています。
さて、上の証明では、「白」の入った箱のパターンが「白白」以外にはないところに、ある意味問題の単純さがありました。そこで、「赤白」や「黒白」という箱も含まれる場合、どうなるか？ ということを、残った時間で考えました。
たとえば、
[箱A] ラベル：赤白 [箱B] ラベル：白白 [箱C] ラベル：黒黒 [箱D] ラベル：赤黒
（ただし中身はラベルにある４パターンの入れ替えで、ラベルと中身が一致する箱はないものとする）
とした場合、本番の前に試しに引く回数は、最低何回必要でしょうか。２回？ あるいは３回？ それとも何回試行しても、100パーセント「白白」を選ぶ方法はないでしょうか。
たとえば「赤白の中身の箱から白をずっと引き続ける可能性」は、０パーセントではありません。すなわち同じ箱から白が百回出るからと言って、それが「白白」だと思い込み、実は「赤白」だった、ということがありえます。そして赤白からは白を引く可能性は50パーセントなので、これは運任せの方法となってしまいます。完全に「白白」を決定するのでなければ、完全な解答にはなりません。そして、そのために必要な試行回数は何回でしょうか？ ということを考える必要があります。
授業では、おそらくそれは「２回か３回であろう」という予想を立て、そして最初の問題では選択肢から外していた「白白」のラベルの箱（ここではＢの箱）を開ける必要があることを考察しました。つまり、Ｂの箱の中身が「白白でない」ということは、「もしＢから白が出れば、すなわちＢは赤白である」（なぜなら赤白か赤黒か黒黒だから）、ということで、赤白を見抜くことができる、ということを考えました。
この手の問題で、どのようにひねれば、もっと難しくできるか？ と考えることも、面白い問題であろうと思います。