福西＠高校数の世界です。
2月の授業で、Ｔ君の「分かった！」という時のメモです。
例題 漸化式A(n+2)+(An+1)－6A(n)=0の一般項A(n)を求めよ。
A(n+2)－αA(n+1)＝β{A(n+1)－αA(n)}…(1)
と変換できることを仮定して、これを移項させると、
A(n+2)－(α+β)A(n+1)+αβA(n)=0…(2)
とできます。この式と例題の式との係数比較により
α＋β=－1,αβ=－6（これは解と係数の関係より、x^2+x－6=0の解！）
となり、α＝2,β=－3（あるいはα=－3,β=2）が求まり、
A(n+2)－2A(n+1)＝－3{A(n+1)－2A(n)}
とできたところを、以下B(n):=A(n+1)－2A(n)と定義して、B(n)の漸化式を解くことに帰着されます。
さて、Ｔ君はこのことをもちろん憶えていたのですが、(1)の式を
A(n+2)+αA(n+1)＝β{A(n+1)+αA(n)}…(1)’
としてみたのでした。(1)の式と何が違うかと言うと、－のところを＋にしているわけです。わざわざ最初から－にしておくのは気持ち悪いので、＋にしても別に問題はないだろうというわけです。
そうすると、(2)の式は
A(n+2)+(α-β)A(n+1)－αβA(n)=0…(2)’
となりました。さてここまではよかったのですが、出てきた答が合わず、「？」と詰まってしまったのでした。一体どこが問題だったのでしょうか…？
私もどこがおかしいのかに気付かず、二人で30分ぐらい考えていると…
「あ、そうか！」
とＴ君の方が先に声を上げました。
Ｔ君：
(2)’の式だと、α-β=1,αβ=6となり、α^2－α－6=0からすなわちα=3,－2。よって、「α=3,β=－2」としていたのですが、α－β=1だから、βは2ですね。α≠βなんです！ そこをうっかりしていました。
私：なるほど。言われてみれば確かに。「数学は嘘をつかない」ですね（笑）。α＋β=1の時だと、αとβの間には任意性があってβは特性方程式α^2－α－6=0の解でもありますが、α－βとおいたとき、その任意性が失われてしまったのです。
Ｔ君：
ああ、なるほど、だからA(n+2)－αA(n+1)＝β{A(n+1)－αA(n)}とわざわざマイナスにして、αとβを取り替えてもいいようにしていたのですね。
私：そうですね。取り替えてもいいのは、α+β,αβが対称式だからです。また、漸化式を解く時は(1)’,(2)’とおいてもいいですが、ただしαを求めてから、α－β=1を解くという手間が一つ増えますね。そこを注意していればそれでも解けます。
Ｔ君：
ああ、今実感して分かりました（笑）。