福西です。ダイジェストになりますが、ここの３週間分のしたことを書き留めておきます。（いつものパズルやドリルの様子は今回は割愛します）
10/16
この日は、偶数と奇数の法則性について考察しました。偶数と奇数という言葉は、このクラスではしばしば耳にし、これからもきっと耳にしていくと思いますが（^^）、学校で習う習わないは別にして、数学の大事な基礎として、取り上げることにしています。
調べたことは、以下の三つです。
１）偶数＋偶数＝？
２）奇数＋奇数＝？
３）偶数＋奇数＝？
これらを、具体的な数を使って、帰納的に考察しました。
１）で言えば、２＋４＝６、１０＋１２＝２２、１００＋２＝１０２・・・と、どれも足し算の結果は「偶数」となります。それを生徒たちには調べてもらいました。
証明にまでは至りませんでしたが、偶数は「２＋２＋２＋・・・＋２」とできるというのが、クラスでつかんだ認識でした。一方、「偶数＋２＝偶数」です。つまり、偶数＋偶数＝偶数＋「２＋２＋２＋・・・＋２」＝「偶数＋２」＋「２＋２＋…＋２」＝「「偶数＋２」＋２」＋・・・＋２と、＋２ずつ左の偶数の中に取り込んでいって、結局、全体の和も偶数になります。
これを、飛び石渡りでイメージすると、「最初が偶数の石で、そこから１個飛ばし（＋２ずつ）に飛んでいけば、ずっと偶数の石を踏み続ける」という感じになるでしょうか。
では、奇数＋奇数は、どうでしょうか。
授業では、先ほど「偶数同士」を足せば「偶数」だったので、「奇数同士」を足せば「奇数」であろうという予想がなされました。そして、いざ具体的な数で調べてみると、そうではないことがわかりました。
３＋５＝８です。また１１＋１３＝２４、１０１＋３＝１０４です。（ちなみにこの例は、上にあらわした例に１ずつ足した数です）
なんと、偶数ですね！ そう、奇数＋奇数＝偶数なんです。このような不思議をあたりまえだと思うか、やってみて「おお」と思うか（ぜひ「おお」と思ってほしいわけですけど（笑））、そこを見たいというわけです。
同様に、奇数＋偶数も、（これは奇数という予想でした）、１＋４＝５のような簡単な例から複雑な例まで、思いつくだけ挙げてみて、結果、「奇数である」ということを調べました。
10/23
この日の後半は、「クイーン問題」というものをしました。正式にはエイトクイーン問題というのがあり、授業でしたのはその４×４マスと５×５マス版です。
チェスのクイーンというと、飛車と角を合わせた動きをしますが、それを一辺nマスの盤の上にn個（4マスなら4個）配置して、「たて・よこ・ななめ」の同じ筋にクイーンが二個以上いないような状況を考えます。つまり、互いにクイーンの動きがぶつからないようにします。（授業ではこのぶつかることを「けんか」と呼び、ぶつからないことを「平和」と称していました^^）
生徒たちは、試行錯誤しながら、クイーンを１つ１つ置いていっていました。そうこうするうちに、「重ならないようにはどうすればいいか？」というコツがわかってきて、４マスはあっという間に解いてしまいました。
クイーン問題が面白いのは、一つには「必然性」を追いかけることがあります。たとえば、ある列で２行目（上から２番目）に置いてしまったら、他の列では、もう２行目に置くことはできず（でないと今のとぶつかる）、それ以外の行目で考えなければなりません。そうやって、たとえば４マスの場合、
１列目＝２行目
２列目＝４行目
３列目＝３行目
と置いていけば、最後に置く
４列目のクイーンは、必ず「１行目」
という「１通り」に決まってしまいます。つまり、どんなに最初の方でぶつからないように置いていったとしても、最後の最後でぶつかるように「置かなければならない」ということが生じてしまいます。それでも、「互いにぶつからない」という解を見つけ出すのがここでは問題とされているわけです。
以下は、５マスの場合の生徒たちと考えた結果です。
５マスの場合。赤のように置くか、青のように置くかで、２通り考えられます。これを見つけただけでもすごいと思いますが、あとはそれらの回転で、２×４＝８通り見つかったことになります。
では、これでもう探すのは終わりでいいでしょうか？
いえいえ、まだ存在します。上の場合だと、回転を含めて考えた際に、せっかく見つけた答が「すでに見つけた答と同じ」ということがよくありますが、上のパターンと決定的に違うものを考えたいとすれば、どこに注目すればいいでしょうか？
そうです。「真ん中」です。上のパターンでは、真ん中にはクイーンが置かれていませんでした。（どんなに回転させても、真ん中が空いていることにかわりはありません）。つまり、次は「真ん中に置かれた場合」を考えればいいのです！ そして、そのような場合、クイーン同士がけんかしない場合がありえるのでしょうか…？
はい、ありました！ これが、その考えた結果です。黄色と緑とで、２通りあります。ただしこの場合は、回転させても同じパターンになるので、２通りは２通りのままです。
よって、５マスの場合は（回転も含めて）「１０通り」という結論に達しました。（そのあともしばらく考えたのですが、ずらし方をすべて試してみ、これ以上はないということがわかりました）
なお、今回は４マスと５マスだけで考えましたが、実は、マス目が「奇数か偶数か」によって、大きく問題の性質が異なるということが知られています。そのことも、いつか大きくなってから、調べてみるのもいいのではないかと思います。
ちなみにこのクラスで「クイーン問題」を取り上げたのは、今パズルでしている「足し算パズル」と関係があるからです。また、これからする予定の「ビルディング・パズル」というものにも、今回の「思考パターン」が含まれています。ですので、そこで得意になってもらうために、この日した「感覚」をとどめておいてもらえれば幸いです。
（ビルディングパズル。ビルの配置が、ななめを抜きにしたクイーン問題と同じです）
10/30
この日の後半は、「４目ならべ」をしました。といっても、碁石を使ったそれではなくて、立体的な（あるいは重力のある？）４目ならべです。これも、「必然性」を追いかけるトレーニングです。
ルールは簡単で、赤、青のコマを、互いに一つずつ枠の中に落としていき、たて（高さ）、よこ、ななめに４マス並んだ方が勝ちとします。
ちょっと見にくいですが、写真は「青」が勝ったところです。一番下の段に青が３つならんでいますが、なぜこれで青が「勝った」のでしょうか？ それは、たとえ赤が片方の端に（赤を）入れて止めたとしても、（その次が青の番なので）もう片方の端に青を入れられてしまうからです。このように、「両取り」で勝つことを考えるのが基本です。
最初は生徒同士で何度か対戦してもらい、慣れてきたところで、私を相手に挑戦してもらいました。（そうしながら手を覚えてもらいました）。最後の勝負では、Sちゃんがとても惜しかったです。コマが残り２個となるまで勝負がつかず、白熱した展開になりました。が、最後の最後で、コマを入れる場所がなくなってきて、どうしてもSちゃんのコマが、「相手の４目完成のお手伝いになってしまう」状況が出てきたのでした。それは、順番が違っていれば、引き分けになるところでした。なので、惜しかったです！（^^）
このパズルは生徒たちの興味をひいて、面白かったようなので、またしましょう。さて、どうやったら強くなれるかな？！