0617　高校数学

現在進行形で習っているのは微分の範囲です。今回は平均値の定理や関数の増減表に進みました。着実に進んでいると言えます。まずは自分でやってみて、疑問点を確認するという形で進めています。増減表をかくときに、f(x)＝x－logxのf(1)を求める必要が生じました。log1がわからないとのことだったので、logの定義に立ち返りました。まず底のeが省略されていることを確認して、e^x＝1となるようなxを求めてみました。x＝0です。よってlog1＝0です。

大きく見てよい方向に進んでいるので、あとは量を増やすだけです。いつももう終わりの時間かと感じるくらいです。復習が追いつくと現在習っている範囲の理解もさらに楽になるので、もうしばらく頑張り時が続きます。

Cさんには毎回冒頭で計算や基礎的な作業を問う問題を課していて、これまではどこかしら間違いがあったのですが、今回は全問正解でした。計算力をさらに確かなものとするために、この取り組みはこれからも続けます。

ここしばらくは二次曲線の代数的な式と図形的なイメージの対応づけに注目してきました。与えられた式がどのような図形を表しているのかを考えるためには放物線、楕円、双曲線の標準形に持ち込むのが筋ですが、今回は一般形から整理してみます。

xとyの二次式の一般形は次のように表すことができます。

ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f＝0

a～fまでは実数です。xyの項があると面倒なのでb＝0とさせてください。また、a＝0かつc＝0だと二次式ではなくなってしまうので、aとcの少なくとも一方は0ではないとします。あと、場合によってはx^2＋y^2＋1＝0のように意味を成さない式になったり、y^2＝4x^2のように二直線になってしまうこともありますが、そうならないようにfを調整すると仮定してください。

そうすると、a＞0かつc＞0のときはうまく式変形をすると楕円の標準形になります。式全体に－1をかけると考えるなら、a＜0かつc＜0でも同様です。つまりac＞0であれば上記の式は楕円を表します。a＝cならば楕円の中でも特殊な形である円になります。

逆にa＞0かつc＜0か、a＜0かつc＞0であれば双曲線の標準形に持ち込むことができます。つまり、ac＜0であれば上記の式は双曲線です。

aかcのどちらかが0であれば放物線になります。つまりac＝0なら上記の式は放物線を表します。

このように一般形でも理解しておけばさらに安心できることでしょう。