浅野です。
Kさんは今回から行列の復習を始めました。この範囲の最初のほうは単純作業がほとんどなのでそれほど苦労はないようでした。やや難しい操作なのが行列の積ですが、これもやり方をしっかりと身につけていました。行列については普通の数値計算とは異なり、交換法則（AB＝BA）と積が0ならどちらかが0だという法則(AB＝0ならばA＝0またはB＝0）の二つが一般には成り立ちません。あとは普通の計算のようにしても構いません。
Cさんからは前回、理解はできていても実際の計算で間違えることが多いという悩みを聞きました。その対策をどのようにすればよいかを考えた結果、現在学習している範囲で計算力を要求される問題を毎回冒頭に解いてもらうことに決めました。
今回は積分をして面積を求める問題と行列の積を計算する問題です。後者はクリアできましたが、前者では間違いが見られました。計算途中でカッコを外す際に＋と－を一箇所間違えてしまっていたのです。そもそも1/6公式を使えば計算間違いはしなかったでしょう。この反省を次に生かしてください。
内容に関しては、行列の固有値と固有ベクトルがイメージしづらいとのことでした。次のような定義です。
行列Aに対してA・uベクトル＝k・uベクトル、uベクトル≠0ベクトルを満たす実数kが存在するとき、kをAの固有値、uベクトルをkに対するAの固有ベクトルという。
確かにこの言い方でイメージは湧きません。uベクトルを(x, y)と置いて行列だと考えると、連立方程式ができ、それがx＝0, y＝0以外の解を持つことになります。連立方程式は1組の解を持つか、無数の解を持つか、解をもたないかのどれかですから、この場合は無数の解を持つことになります。
最初の定義を言い換えると、行列Aに対して連立方程式が無数の解を持つようなkが固有値、その無数の解のうちの1つが固有ベクトルです。
固有値と固有ベクトルを用いると行列の対角化ができます。そうすると行列のn乗を簡単に考えることができます。
固有値や固有ベクトルのイメージをつかむ上で重要なことを抜かしていました。ベクトルの一次変換という観点からはどうなるかという側面です。
k・uベクトル＝A・uベクトル
のように記事中の定義式の左辺と右辺を入れ替えると、行列Aでuベクトルを一次変換してもuベクトルが実数倍されるだけ（向きが変わらない）と読むことができます。つまり、ある行列Aに対する固有ベクトルは、その行列Aによる一次変換を受けても向きが変わらない固有なベクトルだということになります。
wikipediaの「固有値」の項目にそのことを示す図があります。興味がある方はご参照ください。