福西です。
『数学ガールの秘密ノート 整数で遊ぼう』（結城浩、SBCreative）を読んでいます。
2章の章末問題をしました。各自1題ずつ、受講生にホワイトボードで説明してもらいました。
3章「数当てマジックと３１の謎」を読みました。
2進数がテーマです。
10進数の2、4、8、16、32がそれぞれ2進数の10、100、1000、10000になります。
また、
10進数を
(10^2)a+(10)b+cと表すかわりに、(2^4)a+(2^3)b+(2^2)c+(2)d+eのように表せます。
このように、自然数は「べき乗」という数のシステムの上に成り立っています。
そして、このシステムは他のべき乗のそれと取り替えがききます。
そのとき変化するのが、係数です。
たとえば、
10進数の12は、
10を1つ、1を2つ（10の係数は1、1の係数は2）、
2進数の12は、
1100で、これは1000を1つ、100を1つ、
含んでいます。
係数は、重みとも言います。
どれぐらいその成分を含んでいるかを示す量のことです。
各桁の係数a、b、cは、
10進数の世界では
0～9が
100（10の2乗）、10（10の1乗）、1（10の0乗）の「重み」、
2進数の世界では
0～1が
100（=4、2の2乗）、10（=2、2の1乗）、1（=1、2の0乗）の「重み」。
2進数の重みは、「ある」（1）か「ない」（0）かです。
そして、ある数の10進数での姿は、2進数でのそれと1対1対応するので、ある数を10進数の代わりに「カードのある／なし」の組み合わせで表現しなおすことができます。
数当てマジックは、そのことがからくりになっています。
【発展】
「ベクトル」を習ったら、以上のことは、[100 10 1]’と[a b c]’との「内積」、また[4 2 1]’と[a b c]’との「内積」だと再認識できます。