福西です。この日は、論理パズルを１題と、前回の続きとして、素数を使って遊んでみました。
論理パズルでは、『論理パズル「出しっこ問題」傑作選』（小野田博一、講談社ブルーバックス）から、次のような問題を出しました。
与之介と愛がジャンケン１回戦をして、一方が勝ちました。
与之介「愛はグーを出しました」
愛 「私が出したのはグーじゃありません」
勝った者のみ真実をのべています。
愛が勝った確率は？
この問題に対して、Ta君の解答が素晴らしかったので紹介します。
注：（ ）の中は私の補足です。あとはTa君の書いてくれた原文のままです。
Ta君の解答
愛が、真実を述べているならば、パー、チョキしか出せない。
そうすると、あいこなしだから、愛がパーなら（与之介は）グーしか出せない。
（また愛が）チョキならば、（与之介は）パーしか出せないから、（愛が）勝つ。
（補足：なお問題文の二人の発言は与之介が何を出すかに触れていないので、上の場合は矛盾しない。よって、愛の勝つパターンは２通りあることが確かめられた）
（もし愛がうそを述べているならば）、与之介は勝った（ことになる）。
ならば（与之介の発言が正しいことから）愛は、グーしかない。ならば与之介はパーを出すしかない。
（補足：よって与之介が勝つパターンは１通りであることが確かめられた）
だから2/3の確率で愛が勝つ。
Ta.君は、「愛が真実を述べているか、否か」で場合分けしてくれました。そして、最終的にどちらかが勝つのは３パターンしかなく、そのうち２つを「愛が勝つパターン」が占めることをつきとめてくれました。そして上のように文章に書いて証明してくれました。
普通なら、「勝つ」か「負ける」かしかない（あいこは問題文によって省かれている）ので、1/2の確率と言いたいところです。また、「もし愛が勝ったなら」と仮定した時点で、愛が勝つに決まっているのだから、それは100%ではないか、と思いがちです。しかしそれは「条件付確率」とよばれるもので、実は100%ではありません。上のKa.君のように、問題文に矛盾しない起こりうるパターンをすべて洗い出し、そのうち「愛の勝つパターンは２つで…」とカウントするのが正しい思考の筋道となります。Ｔa君はそれを見事、喝破してくれました。授業中も、「つまり、こういうことやな」「つまり、なぜなら…」と、本質的な発言や、疑問点の解消を何度もしてくれていたので、さもありなんというところです。
さて、後半は、前回の続きで、素因数分解を考えました。
その前に必要な知識として、素数のことを確認しました。ちょうど学校の授業でもしたばかりとのことで、「１と自分自身以外では割り切れない数」という定義をよく理解してくれていました。そこで、10000までの素数表を渡し、素数が一体どんな姿をしているのか、見てもらいました。
さて、この表にある数は「すべて素数」ということですが、ということは、ここにない数は、何らかの数で割り切れることになります。というわけで、ちょっと面白い遊びを提案しました。
問い
「10000までの数で、素因数分解（素数の積に分解）をしたとき、その要素となる数に一番大きな塊（つまり素数）が出てくる数を見つけよ」
上の写真ではちょっと見づらいですが、たとえば、真ん中あたりに2213、2221とあります。ということは、この「間の数」（2214～2220）は、どれも何らかの数で割り切れるはずです。（素数ではないので）。そこで、その中から試しに2215を選びます。これは、1の位が5なので、5で割り切れます。ということは計算を実行して、
2215=5×443
となりました。そしてこの新しく出てきた443は、素数表を見ると、ちゃんと載っています。ということは、これで素因数分解が完了です。（もし素数表になければ、まだ「割り切れる」ということですので、さらにその数の塊は小さくなります）。443は大きい塊ですね。つまり、この塊が大きいような数を見つけた人が勝ちというわけです（^^）
（ひたすら計算が始まりました！）
ちなみに授業で挙げられた数には、こんなものが出てきました。（私が書きとめたものだけになります）
1025＝5×5×41
3017＝7×431 ←いきなり大きいのが出てきました。
2215＝5×443 ←さらに大物が！
2335＝5×467 ←ここで、5ずつ作戦（笑）。冗談のようですが、着実に数が大きくなっているので、本気です。
6543＝3×3×727 ←これもでかい！
というわけで、この日は確か、727が一番大きかったと思います。
ここで一つ、私から挑戦状です。
「ちなみに先生は3000越えできます」
ヒントは、先に渡しておいた素数表です。これを活用すれば（それも10秒ほど眺めただけで）、今10000までの数で考えた場合、3331の塊が最大になるかと思います。さて、3331が出てくるということは、これのもとの数字は何（何かける3331）でしょうか？
もしそれが復元できたなら、きっと、「あっ！」と思うような単純な策がみんなにも見つかると思います。