浅野直樹です。
2019年センター試験追試数学1Aを解きました。
第４問の整数問題の後半が難しく、インターネットで探してもいい解説が見つからなかったので、私なりに解いてみます。
（２）
k=560^2+560q+r
560は16の倍数であり、kが16の倍数のとき、560^2+560qの部分は16の倍数となるので、rは16の倍数である。
また、560^2=(13・43+1)^2=13^2・43^2+2・13・43＋1より、560^2を13で割ったあまりは1、560を13で割ったあまりは1より、kが13の倍数のときは、1+q+rが13の倍数となる。
（３）
kを最小にするためには、まずqをできるだけ小さくする必要がある。q=0のときにrを調整すれば条件を満たすことができるので、q=0である。
このとき、（２）より、rは16の倍数、1+0+rは13の倍数となるので、整数x, yを用いて、r=16x, r+1=13yと表すことができる。r=16x, r=13y-1より、16x=13y-1。これは（１）（本記事では省略しています）でc=-1の場合であり、x=13s+35cより、x=13s-35。r>=0よりx>=0であり、s=3のときx=4でxが最小となり、r=16・4=64で最小となる。
（４）
問題文より√k＝560+mである。kは13の倍数なので√kは13の倍数である（√kが13の倍数でなければkは13の倍数でない（対偶））。また、kは16の倍数なので√kは4の倍数である。以上より、√kは13・4＝52の倍数である。560+mが52の倍数となる最小のmは12。
k=(560+m)^2=560^2+560・2m+m^2とk=560^2+560q+rを見比べて、q=2m, r=m^2。これにm=12を代入してq=24, r=144。
以上です。