福西です。
『無限論の教室』（野矢茂樹、講談社現代新書）の十九週と二十週の前半を読みました。無限とパラドクス（矛盾）をめぐる物語も、いよいよ終わりに近づいてきました。
ヒルベルトという数学界の巨人が、公理（誰もが認めるルール）から出発した形式的な手続き（論理記号）による体系で、数学全体をとらえ直そうとしました。幾何であろうと代数であろうと解析であろうと、さまざまな見え方の骨格はすべて同じ、「公理とその記号的な展開（形式）」であると。その体系を「公理系」といいます。彼はそれによる「完全で矛盾のない数学」の建設を標榜しました。
数学上の考えうる命題（「～であるか？」）のすべてがテーブルに乗せられているとします。ヒルベルトの立場は、「われわれはすべて証明できるし、すべて証明できるだろう」という豪語です。
命題の答には、真か偽のどちらかしかないとします。そして真だと証明されると、定理に昇格します（迷路で言うと、真＝肯定的解決、「次」に進めます。偽＝否定的解決、行き止まりです）。そして定理の組み合わせ（形式的な手続き）によって、他の命題を証明していきます。そのようにして、考えうるすべての命題は、いくつかの公理から出発し、真か偽かを証明しきった「完全」で「無矛盾」なる体系をなすだろう、と予想されます。
完全とは、一つの迷路にたとえると、スタートからつながっていない道は一つもない（たどり着けない場所、離れ小島は一つもない）ということです。また無矛盾とは、迷路の各地点が「通路」か「行き止まり」のどちらかで、その両方であるケース（ある時は通れて、ある時は通れない壁）がないということです。
そうした際限なく広がった、けれども踏破可能な迷路が、数学全体だとヒルベルトは思い込もうとしました。もしそれが「ラッセルの矛盾」のようなものの出てくるラビリンスだとしても、ヒルベルトはその矛盾の理由を、記号展開を無限に実行できない（無限に歩けない）人間のせいだとして、純粋な対象の数学とは切り離しました。そして公理（最初のルール）をいじることを追求し始めました。
その「形式万歳！」のヒルベルトの歩みを、「より完璧なもの」にしようと意気込んだ、ゲーデルという若者がいました。彼は、数学自体を「数学した」結果、なんと、ヒルベルトとは逆のことを、「矛盾のない公理系は、証明できない命題を必ず含んでしまう（つまり不完全である、その公理系のうちでは真とも偽とも判定できない「何とも言えない」命題がある）こと」を証明してしまいました。それが自然数というごく簡単なものであっても、です。
こうしてヒルベルトは「万能の夢」から覚めました。彼の議論は、数学基礎論という数学の一分野に格納され、その後の数学は「各自できることをしよう」というふうに落ち着きました。