福西です。
『無限論の教室』（野矢茂樹、講談社現代新書）を読んでいます。
「第九週」の前半（p142～149）を読みました。
ラッセルのパラドクスが登場しました。
それに付随して、「集合の集合」が作り出す矛盾の例を、５つ紹介しました。
１ 図書館目録のパラドクス
この図書館には、自分のことを引用していない本（たとえば作者名や題名がその本の中に書かれていない本）が、全国各地からすべて集められている。そしてそれ以外は置いていない。この図書館には目録がある。さて、この目録にはその目録自体を載せられるか？
なおこの目録とは、その図書館にある本の題名をすべて記した本のことである。
目録も図書館の一冊なので、名前を載せる必要があります。けれどもそうすると、この図書館に置くことができなくなります。
一方、目録から目録の名前を消すと、今度は目録が「自分のことについて書かれていない本」になります。よって、この図書館に置かなくてはなりません。（そうした本は「すべて」とあるので）
目録は、図書館を行ったり来たりすることになります。これは矛盾です。
２ 床屋のパラドクス
ある村の床屋は一人で、自分でひげをそらない村人のひげをすべてそり、自分でひげをそる村人のひげはそらない。
その床屋は、自分のひげをそるか？
床屋が自分のひげをそろうとすると、自分自身が「自分でひげをそる村人」になり、そることができません。しかしそらないと、今度は「自分でひげをそらない村人」になり、そらなくてはなりません。
床屋の手がプルプルしている様子が目に浮かびます（笑）
３ 市長のパラドクス
自分が市長をしている市に住んでいない市長を世界中から集めて、Ａ市を作る。Ａ市には、前述の市長のみが住み、しかも一人残らず住む。
Ａ市についての市長はＡ市に住めるか？
Ａ市の市長は、Ａ市の外に住まなくてはなりません。けれどもＡ市を出ると、「自分が市長をしている市に住んでいない市長」になり、またＡ市に呼び出されます（「すべて」とあるので）。で、Ａ市から追い出されます。これの繰り返し。矛盾です。
４ １の変形（自分自身を含む場合）
ある図書館には、そこにある本の内容がすべて書き込まれた本Ｘがある。
そんなことは可能か？
Ｘに、まずその図書館にある本（仮にＡ、Ｂの２冊）の内容が書き込まれる。
つまり、｛Ａ、Ｂ｝である。
つぎに、Ｘ自身も図書館の一冊なので、それも書き込まなくてはならない。
つまり、｛Ａ、Ｂ、Ｘ｝である。
これは、｛Ａ、Ｂ、Ａ、Ｂ｝のこと。
さて、この内容こそが、Ｘであるなら、さっき書いたのではなくて、こちらをＸには書き込まなくてはならない。
つまり、
｛Ａ、Ｂ、Ａ、Ｂ、Ｘ｝
＝｛Ａ、Ｂ、Ａ、Ｂ、｛Ａ、Ｂ、Ａ、Ｂ、Ｘ｝｝
＝……
となり、永久に書き終わらない。
５ 犬そのもの（テキストにある例）
Ｘは「犬ではないものすべて」の集まりである。
この「犬ではないものすべての集まり」もまた、１つの「犬ではないもの」である。
とすると、Ｘにどんなことが起こるか？
Ｘ＝｛猫の集合、食器の集合…、Ｘ｝
Ｘ＝｛猫の集合、食器の集合…、｛猫の集合、食器の集合…、Ｘ｝｝
Ｘ＝｛猫の集合、食器の集合…、猫の集合、食器の集合…、{猫の集合、食器の集合…、｛猫の集合、食器の集合…、Ｘ｝｝
…
となり、無限増殖する。
受講生も、「なんでラッセルはこんな変なことを考えたんだろう？」と言いつつも、それぞれのパラドックスに興味を抱いてくれたようでした。
ラッセルの話をまとめると、次のようになります。（上の例では１～３）
「自分自身を要素として持たない集合の集合」を、ラッセル集合と定義する。（１）
ここで、Ｘを登場させます。Ｘはまだ正体不明です。
そして（１）から、
「Ｘは、ラッセル集合の要素である」⇔「Ｘは、Ｘの要素ではない」（２）
と書けます。
【補足】
ＡならばＢを、Ａ→Ｂ
ＢならばＡを、Ａ←Ｂ
と書き、その両方を満たすなら、
ＡとＢは同値（同じ内容）で、
Ａ⇔Ｂ
と書きます。
さて、Ｘの正体を実は「ラッセル集合」だとします。
つまり、
（２）で、Ｘ＝「ラッセル集合」（という言葉）を代入します。
すると…
「Ｘは、ラッセル集合の要素である」⇔「Ｘは、Ｘの要素ではない」
「ラッセル集合は、ラッセル集合の要素である」⇔「ラッセル集合は、ラッセル集合の要素ではない」
はい。
このように、最後の文章で矛盾が生じました。
ラッセル集合は、ＡでありＡでないと言っているからです。
次回は、「第九週」の続きを読みます。