福西です。
『無限論の教室』（野矢茂樹、講談社現代新書）の「第７週」を読みました。
今回の主役は、部分集合です。
その名の通り、集合の要素を一部分だけ抽出した集合のことです。
無限集合から作った部分集合もまた、無限集合になることがよくあります。
たとえば、自然数は実数の部分集合です。そして、無限集合です。
そして、つぎにべき集合という概念を考えました。
「ある集合に対して、その要素を使って考えうる部分集合のすべて（を要素に持つ集合）」のことです。
たとえば、
集合Ａ＝｛１、３、５、７、９｝
に対して、その要素を使って考えうる部分集合のすべては、
・要素が０個（何も選ばない）
｛｝ 空集合
・要素が１個
｛１｝｛３｝｛５｝｛７｝｛９｝
・要素が２個
｛１、３｝ ｛１、５｝ ｛１、７｝ ｛１、９｝
｛３、５｝ ｛３、７｝ ｛３、９｝
｛５、７｝ ｛５、９｝
｛７、９｝
・要素が３つ
｛１、３、５｝ ｛１、３、７｝ ｛１、３、９｝
｛１、５、７｝ ｛１、５、９｝
｛１、７、９｝
｛３、５、７｝ ｛３、５、９｝
｛３、７、９｝
｛５、７、９｝
・要素が４つ
｛１、３、５、７｝ ｛１、３、５、９｝ ｛１、３、７、９｝
｛１、５、７、９｝
｛３、５、７、９｝
・要素が５つ（全部を選ぶ）
｛１、３、５、７、９｝ 全集合
以上、計３２個あります。
この３２個の集合すべてを要素として持つ集合のことを、べき集合と呼びます。
もとになった集合Ａと別物であることに注意して下さい。
Ａは、｛１、３、５、７、９｝
で、
Aのべき集合は、
｛ ｛｝ ｛１｝｛３｝｛５｝｛７｝｛９｝ ｛１、３｝ ｛１、５｝ ｛１、７｝ ｛１、９｝ ｛３、５｝ ｛３、７｝ ｛３、９｝ ｛５、７｝ ｛５、９｝ ｛７、９｝ ｛１、３、５｝ ｛１、３、７｝ ｛１、３、９｝ ｛１、５、７｝ ｛１、５、９｝ ｛１、７、９｝ ｛３、５、７｝ ｛３、５、９｝ ｛３、７、９｝ ｛５、７、９｝ ｛１、３、５、７｝ ｛１、３、５、９｝ ｛１、３、７、９｝ ｛１、５、７、９｝ ｛３、５、７、９｝ ｛１、３、５、７、９｝ ｝
です。いわば集合の集合です。
授業では、このような有限の場合でべき集合を作る演習をしました。
ところで、べき集合の要素を具体的に全部書きだすのはしんどいですが、その総数が３２だということは、次のようなアイデアですぐに調べられます。
１ ３ ５ ７ ９
｛□｜□｜□｜□｜□｝
□にスイッチがあると思ってください。
ON／OFFで、ONならその数を入れます。OFFならその数を入れません。
たとえば、
｛ON｜ON｜OFF｜OFF｜OFF｝
なら、
｛1、3｝
を作ることになります。
要するに、１つの要素に対してON／OFの２通りの選択肢があるので、スイッチの数だけそのかけ算、
２×２×２×２×２ （２の５乗）
＝３２
通りあるとわかります。
これが、べき集合の「べき」の名前の由来です。同じ数をかける「～乗」のことを、数学では「べき」と言います。
もとの集合の要素が１個増えるごとに、べき集合の要素は２倍になり、爆発的に増えることが分かると思います。
そしてこの爆発的に増える要素の個数が、べき集合の濃度です。この勢いをもってして、実数よりも濃い濃度を達成できないか、が今週のテーマでした。
（ちなみに２次元、３次元、４次元…と集合の次元を上げても、実数より濃くできないことは、「第４週」でみました）
自然数のべき集合は、２×２×２×２…を無限回した個数の要素を持つことになります。
その要素の数（濃度）は、実数のそれと同じになります。
さらに、実数のべき集合を考えます。
濃度について、実数のべき集合が実数よりも濃いことは、対角線論法で証明できます。（「自然数と実数」のときとパターンは同じです）。
結果だけまとめると、
濃度については、
自然数＜自然数のべき集合＝実数＜実数のべき集合
この後も続けることができて、
実数のべき集合＜実数のべき集合のべき集合＜実数のべき集合のべき集合のべき集合＜…
こうして、次元では突破できなかった濃度の壁が、「部分集合全部」（＝べき）という概念で突破できました。
（ただしカントールの、実無限の立場です）