福西です。
『無限論の教室』（野矢茂樹、講談社現代新書）の第六週（p86-99）を読みました。
今回の内容はおさらいを兼ねた脱線です。
テキストには、「可能無限」（果てしなく続く有限、いつまでも続けてよいという可能性としての無限）と、「実無限」（到達され、完結した無限）という二つの立場が登場します。そして、実無限を可能無限でいちど疑っておこうというわけです。
√２は、実無限の立場では、存在する無限小数です。一方、可能無限の立場では、「２乗して２になるような数を電卓で探すと、いつまでも小数展開を続けていき、その探し方、パターン（規則）に√２という名前が付いている」とみなします。
自然数は、「０に１を加えていく」という規則で構成できます。可能無限の立場では、その規則が自然数という名前だとみなします。
実数はどうかというと、√２には√２用の、πにはπ用の探し方（規則）がそれぞれあります。自然数の時のように、統一的な規則がありません。これを、可能無限の立場では、実数とは規則の寄り合い所帯であり、「名前の付けようがない、よって存在しない」とみなします。
でも実無限の立場では、ふつうに実数は存在します。幾何学的に「実線」と同じものだからです。それが可能無限の立場からは、「目に見えていても存在しない」ということになります。
変ですねえ、という話でした。
余談で、ピタゴラス教団の「豆食べるべからず」の話になりました。