福西です。
『無限論の教室』（野矢茂樹、講談社現代新書）を読んでいます。
「第5週」（p60～84）を3週にわたって読み、２進数と対角線論法を学びました。
対角線論法は、オセロの駒を使うのが分かりやすかったです。
1 ●〇〇〇
2 〇〇〇●
3 ●●〇〇
4 〇〇〇〇
のように、適当に「異なる」パターンを作ります。
そして次に、上の４つと異なるパターン5を作ります。（どこかが１か所でも違っていれば別のパターンとみなします）
全部で16パターンあるので、残り12パターンのうちから1つを探すわけですが、それを機械的にできるのが、以下の方法です。
１）1～4までの対角線上にある駒を持ってきて並べる。
●
〇
〇
〇
２）そしてそれを裏返す。（これがミソです）
〇●●● ＝5
できあがり。
実際、
5（〇●●●）は、
その左はしで、1（●〇〇〇）の左はしと少なくとも異なり、
その左から２番目で、2（〇〇〇●）の左から２番目と少なくとも異なり、
その左から３番目で、3（●●〇〇）の左から３番目と少なくとも異なり、
その右はしで、4（〇〇〇〇）の右はしと少なくとも異なっています。
だって、そのように作ったからです（裏返したから当たり前）。
そして、この有限での「当たり前」を自然に延長し、駒を無限個に増やしても同じように言えることが、対角線方法の利点です。
1 ●〇〇〇……
2 〇〇〇●……
3 ●●〇〇……
4 〇〇〇〇……
……
n 〇〇●●……
に対しても、対角線から成分を持ってきて、それを裏返したものをn+1とすれば、必ず1～nと異なるパターンが作れる。それはn→∞でも保証される。
これが対角線論法です。すごい切り口だと思います。
これによって、「自然数と実数は１対１対応できる」と仮定して作った（詳しくはテキスト参照）、上のオセロのような自然数の集合には、＋１個目が現れてしまいます。あれ？ 一対一対応してたら、漏れがないはずじゃないの？ そうか、１対１対応できるという仮定がそもそも間違っていたんだ！ ということになり、自然数と実数は同じ無限個でも、濃度が違う（一対一対応できない）ことが言えました。
次回は、「第六週」を読みます。
【おまけ】
2進数の話の脱線で、次のような計算もしました。
偶数＝０、奇数＝１として、１桁ずつさいころをふり、４桁の数を作る（たとえば０１１０）。これを１６セット行う。１回も同じパターンが出ない確率はいくらか？
正解は、16/16×15/16×14/16×…×3/16×2/16×1/16
=20922789888000/18446744073709551616
=0.00000113…
≒100万回に1回
試行したところ、受講生の二人とも5セット目で同じパターンが出ました。