浅野直樹です。
もう忘れることのできないほど文法や構文が深く身についています。
次のような文を日本語を介さずに理解できるとよいです。
This minimizes the chance of parents’ income levels causing gaps in children’s opportunities for receiving a higher education.
This minimizes …は直訳すると「これは…を最小化する」です。「このおかげで…は最小限に抑えられている」のように意訳してもよいでしょう。This（これ）というのは、ここでは引用していない前の文の内容を指しています。
…gapsまでは、「親の収入レベルが差を引き起こすこと」とするのがわかりやすいでしょう。「差を引き起こす親の収入レベル」と訳しても間違いではないと思います。
最後の部分は、「高等教育を受ける子どもの機会における差」と形容詞的に訳してもよいですし、「高等教育を受ける子どもの機会において差（を引き起こす）」と副詞的に解釈してもよいでしょう。
日本語で文法的に説明するとややこしくなってしまうので、日本語を介さずに英語の語順のまま意味をつかめるようになることのほうが実践的であると言えます。