福西です。前回の稿の続きです。
３枚の場合です。
初期状態は、こうです（Ａに三枚）。これをＢかＣにそっくり移し変えるのにかかる手数は、最短で何手か？ という問題です。
まず、１手目。仮にここではＢに置くとします。
２手目。ここは一択です。
次が二択なのですが、もしここで１を３の上に置いてしまうと、次に２の置き場がなくなるので、無駄な手順ということが分かります。そこで、１は２の上に置くのが最短の手順。さて、ここまでで３手かかりました。さて、この状況は「セーブできる」（あとでこんがらがっても、この状況に戻ってきて、「３手目」とできる）ことに、気付かれましたでしょうか？
さて、ここが強調すべきところです。４手目です。しかし、これを「４手目」とべたっとは数えずに、この「３の円盤だけ」を動かすためにかかった手数は何手と言えるでしょうか？ そう、１手だけですよね。で、その１手ではたと手を止めるのが、実は重要です。この時、ようやく一番下の円盤が他の場所に移せました。これがしたかったから、上から２枚をどけた、とも言えます。さて、ここで以前の手順を振り返ってみてください。以前の円盤は何枚あったでしょうか。２枚でしたね。そして「その２枚の円盤を動かすのに、何手かかりましたか？」と聞かれたら、さっきのセーブを思い出して、「３手」ということが言えます。つまり、ここでは、「３手」に「１手」を加えるという作業をしていることになります。
さて、続きですが、実は、もう「考える必要は無い」（むしろ、すでにもう考えてある）ということに、お気づきでしょうか。そうです。このあと、３の円盤の上に、１と２の円盤をそっくり移し変えるわけですが、それをするのには、何手かかるはずだったでしょうか？ そうです。以前セーブした状況と同じ、３手です。というわけで、あとはその確認です。
１、２…
３と。そういうわけで、ここまでかかって手順をまとめると、「上の２枚を移し変える」（ここでセーブ）＋「一番下を別の場所に動かす」＋「また上の２枚を移し変える」＝「３手」＋「１手」＋「３手」＝７手です。つまり、これが他に最善手はなく、７手が最短であるという理由です。
さて、４枚にしても同じです。さっきの３枚の時の結果が使えます。要は、「上の３枚を移し変える」（ここでセーブ）＋「一番下を別の場所に動かす」＋「また上の３枚を移し変える」＝「７手」＋「１手」＋「７手」＝１５手です。（確認のため、以下をご覧下さい）
ここまでで７手。（３枚の時の結果がそのまま使える。４の円盤は動いていないから、今はないのと同じ）
そして…
じゃん…じゃん…じゃん…！（スローモーションのつもりです^^）
これで１手分、ここが「真ん中」です！
あとは、前と同じ手順だ、ということに気付いた人は、「あ！分かった！」となるわけです（^^）。実際、生徒たちは、ここまでの道筋をノーヒントで、「あーだこーだ」と言いながら思考を整理して、たどりついてくれました。何より大きなことだと思います。
ここから後は、前にやった「７手分」だと気付けば、しめたもの！
さて、授業では３枚からわざと始めたわけですが、より法則性を掴むためには、２枚の時と、１枚の時を考えるのがミソです。なんとなれば数学では、問題を極端にすることで、だんだんと法則が見えてくるからです。
もちろん円盤が１枚から始めた場合は、１手です。当たり前ですが、「この１手を確認すること」がはなはだ重要です。（といいつつ、写真がないですけど^^;）
では、２枚の場合。
１手…
２手！ ここでセーブ！ さて、お次は…？ そう、１手ですよね。なぜでしょうか？ それは、１枚の場合で考えた時の「１手」だからであり、もっと言えば、「１枚を動かすのに１手かかる」というのが、問題に与えられている約束だったからです。つまり、１＋１＋１と、問題の約束の組み合わせで、きちんとこの２枚の時の「３手」は説明できることになります。
そのように、だんだんと理解を深くしていってもらいました。授業ではあっという間の１時間で、このような法則を掴んだ人（チーム）は、次に５段、６段…と計算を始めていました。なにせ、ブラフマンの塔が４段だと１５秒で地球は滅亡してしまうことになるわけですから（笑）。そこで、余った時間は、滅亡までの日をかせぐために、できるだけ６４段に肉薄してもらいました。
１、３、７、１５、３１、６３、１２７、２５５、５１１、１０２３。ここまでで１０段の移し変えにかかる時間（秒）です。時間にすると、１６分かそこらです。
１１段目 ２０４７秒
１２段目 ４０９５秒
１３段目 ８１９１秒
１４段目 １６３８３秒
１５段目 ３２７６７秒
１６段目 ６５５３５秒
１７段目 １３１０７１秒
１８段目 ２６２１４３秒
ここで、時間が来てしまいました。ちなみに１８段目は、６０で割ると、４３６９分。（これも今している割り算のいい練習になりますね^^）
でもって、さらに６０で割ると、７２．８時間。ということは、２４時間が約３つ分なので、約３日ということになります。地球滅亡まで、あと３日！
さて、６４段の場合は、いったい何日、何年と予想されるでしょうか。それはぜひ、「地球が滅亡するまでに、答を出してみて下さい」という、私から生徒たちへのスペシャル問題でした（^^）。
正直、難しい問題設定かなと思ったのですが、「三人寄れば文殊の智恵」というのは本当で、４年生たちのチームワークはさすがだと思いました。この日の生徒たちの健闘ぶり、頭のフル回転ぶり、また協力のし合いは、願わくば、記憶に留めておいてほしいと思います。
ちなみに、同じ問題を中学生の幾何のクラスでも特別に出したところ、これもまた、さすがは中学生と言うべきでしょうか。上の考え方とはまた異なる道筋で、原理を説き明かしてくれました。（それだけでなく、64段にかかる年数の桁数（オーダー）まで特定してくれました！ すごいです）。さらに、その同じ中学生たちは、１の位の数が、１、３、７、５、１、３、７、５…と繰り返すことにまで気付いており、なんとも素晴らしい！ という結果を残してくれました。しかし、それについては、また別の稿で。