浅野直樹です。
場合の数はいろいろな考え方ができるのでおもしろい反面、難しくもあります。
例えば、横に４ブロック、縦に３ブロックの道を左下から右上まで最短経路で進む進み方は全部で何通りあるかという問題では、→↑→↑↑→→のように進み方を矢印に対応させて、その並べ方の総数を考えます。私なら１歩目から７歩目のうち上に進むのは何歩目と何歩目と何歩目かと考えて、７つのうちから３つを取り出す7C3＝35通りと答えを出します。教科書には7!/3!4!と書かれていて戸惑いました。おそらく、７つの矢印をすべて区別して並べる並べ方は7!通り、実際には↑の内部と→の内部では矢印を区別しないので、↑の並べ方である3!と→の並べ方である4!通りで割ってあげるという考え方でしょう。
どちらの考え方でも同じ結果になります。まずは自分なりのやり方を確立して、余力があれば別の考え方もできるようになるとよいです。