福西です。
先週は、次の問題を考えました。
50cmの棒がおさまる箱（直方体）を作りたい。ただし、箱の一番長い一辺が、できるだけ短くなるようにしてください。
今週は、その問題を変形させて、次のように考えました。
たて、よこ、高さが1mの箱があります。この箱に棒をおさめたい。棒は、どれぐらいの長さまでなら大丈夫？
生徒たちは、最初「ええー？1mじゃないの？」と言いました。前回も、棒を収める箱を作るとき、棒と同じ形に、つまりふで箱のような細長い箱を作る人が大半でした。斜めの利用に思い当たったのは、一人だけでした。
というわけで、実際に10cm立方（1/10の模型）で考えました。
開けてみると…
こんな感じ。
まず、平面で考えます。写真は立方体の底面で、一辺10cmの正方形です。
まず、縦と横よりも、対角線（ななめ）の方が長いことを確認します。
そして、実際に定規で測ってみます。
すると、14.1cm～14.2cmのあいだであることがわかりました。
「1辺が10cmの正方形の対角線は、だいたい14cm」
という経験則を得ました。
問題では1mの箱なので、その10倍になります。
つまり、棒を立方体の底に寝かせるなら、1.4mの棒はなんとか入る、ということです。
次に、立体で考えます。高さの方向にも、「ななめ」が取れることがわかります。一番遠いのは、「ななめ向かい」の角どうしです。
写真再掲。右側が、立方体の「中身」に作れる一番長い「ななめ」を示しています。
取り出して置いてみると、こんな感じ。たてが10cm、横が14.1cmの長方形の対角線です。
14.1cmは、さっき考えた「底面」の対角線にあたります。
さて、長方形の対角線を実際に定規で測ってみます。
すると、17.3cm～17.4cmのあいだであることがわかりました。
「1辺が10cmの立方体の一番遠い点同士の間は、だいたい17cm」
という経験則を得ました。
問題では1mの箱なので、その10倍になります。
つまり、棒を立方体の底に寝かせるなら、1.7mの棒はなんとか入る、ということです。
実際に、箱の中に棒を「ななめに浮かせて」入れると、「ほんとだ」ということが確かめられました。
やってみると「なんだ」となりました。
けれども頭でそれを思い浮かべるのは難しい。
ということが今回伝えたかったことでした。
生徒たちには、日常でも、道路を歩いているとき、ななめに歩くか、まっすぐ歩くかで、距離が変わることを想起してもらいました。
これで、「ななめ」思考に強くなったかな？！
【補足】
上の写真のように、「ななめ」の「ななめ」……と重ねていくと、10cm→約14cm→約17cmと増えていきます。
つまり、考える入れ物（1辺10cm）が、
直線なら、最大10cm
正方形なら、最大約14cm
立方体なら、最大約17cm
……
の棒が入ることになります。
棒が、だんだん伸びるのです。
これは、不思議なことだと思います。
中学生になると、1、√2、√3…を習います。定規で実際に測った長さが、それです。化学の世界でも、「空間のななめ」の考えは、分子間の距離を計算するときに必要です。
またいつか出会うでしょう。