浅野です。
曜日と日付の尋ね方は意外に難しいです。
結論から言うと、曜日を尋ねるのは”What day (of the week) is it today?”であり、日付を尋ねるのは”What is the date today?”です。dayが「日、曜日」でdateが「日付」だと覚えればひとまず対応できます。
さらに難しいのは、what day is… ?のようにwhatを形容詞として名詞につなげる場合と、what is …?のようにwhatを名詞として用いる場合との識別です。究極的には普通そう言うか言わないかという慣用になると思います。強いて日本語で考えるなら、「何曜日」とは聞けても「何日付」とは聞かないといったようなものです。