数学が生まれる物語を読む（複素数について）

福西です。

以前、Eさんが複素数を取り上げてくれたので、それの興味を喚起する教材について書いておきます。（なかば講師用メモ）

１）2次方程式の複素数解の可視化

2次方程式は判別式D<0の場合は、実数の範囲では「解なし」となりますが、複素数の範囲では「異なる2つの複素数解」があります。

ただし「存在する」と言いながら、複素数解はxy座標のグラフでは見えません。そこでそれを「何とか見たい」という需要にこたえたのが、以下の文献です（pdf）。

この文献にしたがって、以下のサイトにある「3D-GRAPES 1.73」「3D GRAPES 1.76」（2021年現在）というソフトでお絵かきします。

１）~~grps3d173.zip(2.5MB)~~　grps3d176.zip(3.0MB)というのをダウンロードします。

２）grapes3D.exeを実行し、立ち上がった画面の右欄に、下記の式を入力します。

i)曲面に

R　(u,v,au^2-av^2+bu+c)

曲線に

P　(u,0,au^2+bu+c)

Q　(-b/2a,v,-av^2-b^2/4a+c)

変数uとvの範囲は、-10から10など適当に決めます。

ii)点に

A　((-b-Sqrt(b^2-4ac))/2a,0,0)

B　((-b+Sqrt(b^2-4ac))/2a,0,0)

S　(-b/2a,-Sqrt(-b^2+4ac)/2a,0)

T　(-b/2a,-Sqrt(-b^2+4ac)/2a,0)

iii)パラメーターに

a=1

b=-2

c=2

お疲れさまでした。

そして、このcを小さくすると実数解、大きくすると複素数解が現れます。

画面を90°ずつ回すと、「虚と実」の世界を行き来できます。このように視野を複素数にまで広げると、実数の世界で見ているもの（たとえば二次関数のグラフ）がほんの「切り口の一つ」にすぎないということが分かって面白いと思います。

2次方程式の解は、2次関数y=ax²+bx+cとx軸（y=0）との交点のこと。

左図）x軸（青線）に交わらない時は「解なし」

央図）定義域をx軸から複素平面（青線と緑線で張る面）に拡張

右図）ピンク色の鞍状の曲面がy=ax²+bx+cの複素平面上での正体。

その切り口の一つ（赤いカーブ）と複素平面との交点が、「複素数解」。

２）マンデルブロー集合

複素平面といえば、「マンデルブロー集合」というのがあります。

以下の複素数の漸化式を考えます。

z₀=0

z_n+1=z_n²+c

この漸化式の先が発散しない（|z_∞|<∞である）ような複素数cの集合を、複素平面にプロットして現れる図形は、自分の中に自分と相似な形を持っています。それを顕微鏡で覗いていった一例が、以下の動画です。（色々な方がたくさんアップされています）

（マンデルブロ集合②－フラクタルフローラ）

いつか紹介しようと思っていたのですが、授業では時間が足りなかったので、こちらに記しておきます。

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