浅野です。
カタラン数を紹介しました。
2008年九州大学工学部後期試験の問題のように、最短経路で対角線より上の道を通らない総数がカタラン数になります。
http://kumamoto.s12.xrea.com/nyusi/Qdai_tech_2008_kouki.pdf
参加人数が決まっている場合にトーナメント表の作り方が何通りあるかもカタラン数になります。例えば４人で考えてみましょう。平等な形のトーナメントを((ab)(cd))、aさんとbさんが最も不利でdさんが最も有利な形を(((ab)c)d)のように表すことができます。右カッコの場所さえ決めれば左カッコは自動的に決まるのでそれを無視するとab)cd))、ab)c)d)のようになります。求めたい総数は、まずaを左端に配置し、残りのbcdの文字と３つの右カッコをすでに並べた右カッコの個数が文字の個数を超えないように並べる総数なので、３×３マスの最短経路で対角線より上の部分を通らない総数と等しくなります。