浅野です。
正しい手順で進める限り複数の解き方があるのがおもしろいです。
ある３次関数がある直線と接するという条件から３次関数の係数を求めるという問題では、接点を(t, f(t))と置いて接線を導き、それと与えられた直線とを比較することで係数を求めるのが模範解答でしょう。
別解として、３次関数と直線との共有点を求めるように式を連立させて、３次関数が直線と接する場合は共有点が２個だと図形的に考えると、その連立させた式が(x-α)^2(x-β)=0のような形になるということから係数を求めることもできます。