浅野です。
不等式の証明は難所です。
x>0, y>0のとき、(x+1/y)(y+4/x)>=9であることを証明せよ。
展開してから相加・相乗平均の関係で攻めます。
(x+1/y)(y+4/x)>=9
⇔xy+4+1+4/xy>=9
⇔xy+4/xy>=4…①
より①を示せばよい。
x>0, y>0からxy>0, 4/xy>0なので、相加・相乗平均の関係より
xy+4/xy>=2√xy・4/xy
xy+4/xy>=4
以上より
(x+1/y)(y+4/x)>=9
このような流れで記述すると読みやすいです。