福西です。最近は確率から問題を出しています。
９枚のパネルがあります。あたりが８枚、はずれが１枚です。あたりをめくると、残ったパネルで連続してチャレンジできます。
あたりは１万円からスタートして倍々になり、はずれが出ると０円になります。はずれ以外のあたりをすべてめくった場合（パーフェクト）は２００万円とします。
さて、パーフェクトの確率はいくらでしょうか？
まずは感覚的に掴んでもらうために、実際にチャレンジしてもらいました。
２４回の試行中、１５回目と２０回目、２１回目にパーフェクトが出ました。
次に、「途中で降りてもよい」というルールで、生徒３人で総額の勝負をしました。３回戦して、H君が２０１万円、T君が２００万円、Y君が０円という結果でした。
ここまででだいたい30分。
その後で、確率を計算してもらいました。
１枚目ではずれが出る確率は、９枚中１枚をひくことになるので、
1/9
です。
ということは、1枚目であたりが出る確率は、
8/9
です。
では、「１枚目があたりで、２枚目もあたり」の確率は、どうなるでしょうか？
それを考える前に、サイコロを２回振って２回とも６が出る確率が1/6×1/6=1/36であることを説明しました。
つまり二つの（独立な）出来事が起こる確率は、それぞれの確率のかけ算になります。
これを踏まえた後で、次のように考えていきました。
まず、２枚目の状況だけを取り出し、その確率がいくらかを考えます。
生徒たちはしばらく考えたのち、最初の１枚が減っていることから、
８枚中７枚のあたりを引く確率だと分かりました。
つまり、２枚目についてのあたりの確率は、
7/8
と分かりました。
加えて、１枚目があたりの確率は、8/9です。
ということは、１枚目も２枚目もあたりの確率は、
8/9×7/8
で計算できます。
この分数が面白い形をしていることに、生徒たちはすぐに気付きました。
計算すると、8が分子分母で相殺されて、
7/9となります。
以降、同様に考えればいいことを納得してくれました。
ここで、質問の仕方を変えました。
１枚目ではずれが出る確率と、パーフェクトの確率は、どちらが大きいでしょうか？
１枚目ではずれが出る確率は1/9だということは分かっています。ということはパーフェクトの確率がそれよりも大きいか小さいかということになります。
生徒たちの予想では、「パーフェクトの方がやや出やすい」ということでした。
さて、引き続き、「３枚連続であたり」の確率を計算します。
8/9×7/8×6/7＝6/9。
４枚連続であたりの確率も、同様に計算します。
8/9×7/8×6/7×5/6＝5/9。
ここで、生徒たちは
「分子だけが１ずつ減っている」
ことに気づきました。
ということは、
「4/9、3/9、2/9となっていくであろう」
と。
このあたりは分数の計算練習でした。そうなっていることを手で確かめました。
そして、最後に、８枚連続であたりである確率は、
「1/9」
と分かりました。
ということで、９枚のパネルで１回目ではずれを引く確率も、８枚すべてをあてる確率も、
実は同じ1/9
という確率だということが分かりました。
案外これは直感を裏切る結論だったのではないかと思います。