かず５・６年

福西です。先週は論理パズルでした。

問題（再掲）

「アイアス、オデュッセウス、ディオメデスの三人が、武器屋で上等な買い物をしました。鎧は金貨６枚、盾は金貨４枚、槍は金貨２枚です（槍は投げて使うので比較的安価なのです）。さて３人とも品を２つずつ買いました。以下の条件で、だれが何を買ったかを証明しなさい。また答は一意（一通り）かどうかも示しなさい」

条件１
１人が同じ種類の物を２つ買うことはできません（鎧２つなどを買った者はいません）。

条件２
お互いに、２つの品が２つとも同じになるように買った者はいません。（アイアスが盾と槍で、オデュッセウスも盾と槍ということはありません。ただしアイアスが盾と槍で、オデュッセウスが鎧と槍ということはあります）

条件３
槍を買った者は必ずうそをつき、槍を買っていない者は必ず正しい発言をします。ただしうそとは、正しいことと反対のことを指します。そして二人が次のように発言しています。

アイアス：「オデュッセウスは金貨８枚を使ったぞ」
オデュッセウス：「ディオメデスは金貨１０枚を使ったぞ」

さて、だれが何を買ったでしょうか？

生徒のT君とU君の解答を紹介します。(N君は残念ながらお休みでした）

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前提となること

鎧、盾、槍のうち、種類の違う２つを選ぶ選び方は、以下の３パターン。
鎧と盾＝正直者＝金貨１０まい
鎧と槍＝うそつき＝金貨８まい
盾と槍＝うそつき＝金貨６まい
すなわち、金貨１０まいの者だけが正直者で、金貨８まいと６まい（10まい以外）はうそつきである。

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T君　「アイアスは正直者かうそつきか」で場合分けするやり方

＜ア＞＝アイアス　＜オ＞＝オデュッセウス　＜デ＞＝ディオメデス
＜よ＞＝鎧　＜た＞＝盾　＜や＞＝槍

１）
＜ア＞ が本当（正直者）だった場合＝１０まい（金貨）

（金貨１０まい使った＜ア＞は）＜た＞と＜よ＞を買う。そして＜ア＞は「オデュッセウスは金貨８まい使った」と言っていて、（＜ア＞は仮定より）正直者だからうそではないので、＜オ＞は金貨８まい使ったことになり、８まいは＜よ＞と＜や＞を買う。＜や＞を買った者はうそつきになるから、＜オ＞はうそつきになる。

そして＜オ＞は「＜デ＞は金貨１０まいつかったぞ」と言っているけど、＜オ＞はうそつきなので、＜デ＞は６まいになる。（これは矛盾しない）

（つまり答は、＜ア＞＝＜た＞と＜よ＞、＜オ＞＝＜よ＞と＜や＞、＜デ＞＝＜た＞と＜や＞）

２）
＜ア＞ がうそつきだった場合

（＜オ＞は「＜デ＞が金貨１０まい使ったぞ」と言っているので、もし＜オ＞が正直者（金貨１０まい）だったら、＜デ＞も金貨１０まいとなり、正直者は１人しかいないことと矛盾する。したがって＜オ＞はうそつきでなければならない。）

＜ア＞は＜た＞と＜や＞か、＜よ＞と＜や＞を買う。そして＜ア＞は「＜オ＞は金貨８まい使ったぞ」と言っているけど、＜ア＞は（仮定より）うそつきなので、＜オ＞は８まいではなくなる。（そして＜オ＞はうそつきだから、＜オ＞が６まいになる。）そして＜ア＞が（うそつきなので）８まいになる（＜よ＞と＜や＞に確定する）。

そして＜オ＞もうそつきになるけど、＜オ＞が「＜デ＞は金貨１０まい使ったぞ」と言っているけど＜オ＞はうそつきなので、＜デ＞は１０まいではなくなる（＜デ＞もうそつきになる）。すると3人ともうそつきになるので、（正直者が１人いることと）矛盾する。

（これで全部の場合を言い尽くしたことになり、１）の答が一意である）

補題
３種類のものを２つずつ重複なしに選ぶ時、そのパターンは３パターンしかない！

U君　「オデュッセウスが正直か否か」から導くやり方

１ターン目
もしオデュッセウス（＜オ＞）が正直だったとしよう。すると（＜オ＞は）ディオメデス（＜デ＞）は１０まいの金貨だと言っている。１０まいなので＜デ＞は鎧と盾しかない。そのほかに（アイアス（＜ア＞）と＜オ＞は）盾と槍、鎧と槍になる。

でも＜オ＞が正直なら、（＜オ＞も）＜デ＞と同じ鎧と盾だ。でも条件２で２つとも同じものを買わないと言っている。つまり＜オ＞は盾と槍、鎧と槍になる。（よって矛盾。つまり、＜オ＞はうそつきである。）

２ターン目
＜オ＞は＜デ＞が金貨１０まい使うと言っている。つまり（１ターン目の結果から＜オ＞はうそつきなので）＜デ＞は鎧と盾ではないと言っているのだ。つまり＜デ＞は槍を買ったということになる。

＜オ＞も＜デ＞も１０まい買っていないということは残ったアイアス（＜ア＞）が鎧と盾を買ったということだ。つまり＜ア＞は正直なので（＜ア＞の発言から）＜オ＞は８まい。つまり鎧と槍を買っている。

つまり（条件２の通り）かぶらないためには＜デ＞は６まい。つまり盾と槍を買っているということだ。

答え
つまりアイアスは鎧と盾。オデュッセウスは鎧と槍。ディオメデスは盾と槍になり、答えは（そのほかの可能性はないので）一意！

＊（　）は私が補足した部分です。後は生徒の解答そのままです。

今では、「矛盾」という言葉を合言葉に、それを生徒たちが自分で使えるようになっていることが嬉しいです。Ｔ君は「論理パズルはな、矛盾を導ければ勝ちなんや！」と言っていました。そのような、生徒たちの成長に目を瞠るこの頃です。