てんびん算あれこれ

N君はしばらくの間、じっと問題を眺め、そのうちに1)と3)の天秤の類似に気付きます。

つまり、こうです。

1)の天秤には、左にＡＢが乗っています。
3)の天秤には、左にＡＢＣが乗っています。

ここでＮ君がひらめいたのは、3)のＡＢＣのＡＢを、1)の天秤で翻訳するというアイデアでした。

そうすると、１番目の天秤よりＡＢ＝Ｃなのだから、３番目の天秤は

ＣＣ＝１８

と翻訳されます。すると、Ｃ＝９であることが出てきます。

これを使って、また1)の天秤を見てみると、ＡＢ＝９と分かります。

そして、2）の天秤でＢはＡの２倍であることが読み取れるので、ＡＢ＝９はＡＡＡ＝９と翻訳できます。これで、Ａ＝９÷３＝３と分かりました。

あとは、2)の天秤より、Ｂ＝３×２＝６と分かります。

Ｎ君はこのようにして解いたわけですが、３つの天秤のどれを主役にし、またそのどの組み合わせで自分は解くのか、選び方は人それぞれ出てきます。またおもりを消す代入法の他に、同じ重さのおもりを両側に乗せたり（加減法）、天秤ごと重ね合わせたりする方法も考えられます。さらに、最初の時点では適当におもりの重さを決めて、後で１ｇずつ調整して真値に近づけていくという方法も取れます（数値計算がこれです）。そのような個々の生徒の思考を見ることが、こうした問題をすることの目的です。

目的といえば、よく「つるかめ算」が、連立方程式（行列）という道具があるにも関わらず、なぜわざわざ小学校で教えるのか、その意義を疑問視されることがあります。昔は私もさほどつるかめ算には意義が無いように思っていました。けれども今は少し考えが違ってきて、もし解けることよりも解く過程を見るためであれば、つるかめ算にも意義は十分にあるだろうと考えています。たとえば無人島で生活する時、自分で必要な道具を作れるかどうか、という力を見る点にあるならば。

しかしそうは言っても、つるかめ算（特に受験対策に強いられる場合）は結局のところ「かめを全部つるにする」といった解き方を知ってしまえば、それ１つに解き方が集約されてしまいます。つまりそれは解き方の練習であって、道具を自前で作ることでなく、その使い方に終始してしまいます。使い方（技術）の話であれば、もっと便利な道具（連立方程式、さらには行列）を使えた方がいいことになって、道具の新旧の話になってしまいます。（そこに話の重点を置くせいで、つるかめ算の必要性云々が出てくるのだと思います。そうではなく、つるかめ算の意義は、都会の喧騒（受験対策？）とは隔絶したところで、あたかも無人島にいるかのように「純粋思考」を楽しめる点にあるはずだ、と私は思います。）

対して「てんびん算」はビジュアルからして解き方に一通りを強いるイメージが薄く、割と広い年齢層に対応した「パズル」であるので導入しようと考えた次第です。（てんびんを１つにすれば１年生にも足し算・引き算の教材として出せます。）

特に、「１個、２個…」と数えたり、決まって整数解が出てくるところが数論（＝整数論）のセンスを磨くことにもなり、一石二鳥であろうと期待しています。