かず５・６年

福西です。
冬学期最初の授業では、以下の論理パズルをしました。

『ヘルメスのさいころ』

　あまりにも運がなくて死んでしまった三人の男Ａ、Ｂ、Ｃがいました。そこで商売と泥棒の神様で、冥界への案内役でもあるヘルメスが、冥界に連れて行く前に、一つ彼らに運試しをさせました。
　それは、サイコロを二つ投げ、一番大きい数の出た者が一人だけが、地上に帰ることができるというものです。その結果、三人のサイコロの目は次のような結果になりました。

結果１　三人ともばらばらの数だった。
結果２　ぞろ目を出した者はいなかった。
結果３　二つのサイコロの和（足し算）が奇数だった者はいなかった。
結果４　男Ａの二つのサイコロの積（かけ算）は１２だった。
結果５　男Ｂの二つのサイコロの和（足し算）は６以上だった。
結果６　男Ｃの二つのサイコロの差（引き算）は２以下だった。
結果７　三人のサイコロすべての合計は、２０以下だった。

　さて、男Ａ、Ｂ、Ｃのだれが地上に帰ることができたのでしょう。

＊（　）部分は私の補足で、あとは全部生徒の書いたままです。

Ta君の解答

まず、Ａの二つの数がかけ算で１２という条件で、１２になるのは（出目が）３と４か６と２の組み合わせがあります。でも、３と４だと合わせて奇数になってしまうので、６と２の組み合わせとなります。（Ａ＝８に決定）

次に、男Ｂの足し算は、奇数の組み合わせは除かれて、（出目は）２と４となります。（実は１と５もありますが、いずれにせよＢ＝６と決定）

補足
（結果３から、出目の合計は２、４、６、８、１０、１２しかなく、そのうち２と１２はゾロでないとできないので×。８はＡがすでに使っているから×。さらに１０は結果７からありえない（２０－１８で男Ｃが２以下の目になってありえないから）。さらに４も結果５から×。よって男Ｂの出目の合計は６のみ。）

さいごに、結果７から、３人の合計は２０以下ということから、（男Ｃの出目は）３と１の組み合わせとなります。

補足
（出目の合計について、２０－男Ａ（８）－男Ｂ（６）＝６。しかし６は男Ｂが使っているので、上の補足の議論から、男Ｃには４のみが当てはまる）

よって、一番大きい数を出したのは、男Ａとなります。　Ａ．男Ａ

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Ku君の解答

男Ａから～
男Ａの数を求めるには、「２×６」か「３×４」しかないし、和が偶数じゃないとダメなので（３＋４＝７なので）「２×６＝」になって男Ａは８になる。

男Ｂから（について）～
そしてのこりは（結果３から、出目の合計は２、４、６、８、１０、１２しかなく、そのうち２と１２はゾロでないとできないので×。８はＡがすでに使っているから×。よって）６か４か１０がのこる。

そして男Ｂは６以上とかいてあるので、４はちがう。そして（Ｂが）１０でやったばあい、（条件７からＡ＋Ｂ＝１８、２０－１８＝２≧Ｃとなるので）男Ｃは２以下だとかいてあるから（結果２からＣは２ではありえず）、（Ｂは）１０ではないので、６になる。

（＊「１０でやったばあい…矛盾が生じるから１０でない」の箇所は背理法を使っていることになります。）

男Ｃから（について）～
さいごに男Ｃは合計２０（以下）になるようにしないとだめなので、式をかんがえると「３＋１」しかないので、男Ｃは４になる。（なぜなら結果６から１＋３、２＋４、３＋５、４＋６か、１＋２、２＋３、３＋４、４＋５、５＋６になる。そのうち偶数になるのは前者。そして＝６はＢが、＝８はＡが使っていて、また＝１０はＡ＋Ｂ＋Ｃが２０を越えてしまうから）

（そして男Ｃ＝４は、１＋３の出方があり、それは条件６に矛盾しないので適する）

男Ａが地上に帰れる！

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Ke君の解答

まず男Ａの数字を求める

まず１～６のうちかけると１２になるのを考える。すると「６×２」と「３×４」がある。こんどは×を＋にすると「６＋２」と「３＋４」になり、アンサーは８と７になる。７は奇数なので男Ａ（は）８になる。

（残る出目の合計は）結果１・２・３・４（４は不要）・７からして、４、６、１０しかない。

補足
（結果３：２、４、６、８、１０、１２が○　
　結果１：８×　結果２：４、１２×　結果７：１０×）

男Ｂは（結果５より４ではないので）１０か６です。男Ａは８で、もし男Ｂが１０だったら、ＡとＢは１８。（加えてＣの出目の合計が）４と６だったら２０以上になる。なのでＢは１０ではない。

（＊ここの背理法は、見事です）

とするとＢは６。Ｃは１０だったら（三人の合計は）２０より上。つまりＣは４。４は（サイコロの目が）１＋３（しかない）ので（条件６の）２以下になるので６たっせい！！

なのでＢ・Ｃはくやしいが男Ａが地上に上がる。

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背理法
「Ａである」と仮定して、他の条件（ＢやＣ）で矛盾が生じる時、「Ａではない」ことが結論できる方法。