福西です。2/15の記録です。
先週(2/8)、『輪』についてのレポートをまとめてもらったので、この日からはまた新しい問題です（レポートの方はおいおいタイプしてご紹介します^^）。
『ハノイの塔』という問題です。これは、彼らが２年生ぐらいの時から、「6年生になったらしよう！」と思って、腹中に温めていたものでした。本当は名前は伏せていたのですが、「これってハノイの塔？」とU君がすでに知っていました（^^）というわけで、実際にやってみました。
（ハノイの塔で実験中）
板（小） → 板（小）
板（中） → 板（中）
板（大） → 板（大）
—– —– —– → —– —– —–
台Ａ 台Ｂ 台Ｃ → 台Ａ 台Ｂ 台Ｃ
＊実際の実験では、板の大きさを、数字の大小に置き換えています。
さて、手を動かして実験してみると、３枚の時は７回、４枚では１５回。５枚では急に複雑になって、試行錯誤をしながら３１回であることまで突き止めました。
普通ならこのあたりで飽きてしまうものですが、すかさず「次、６枚もやってみよう！」と、Ｋ君の鶴の一声。
６枚では、最初の試行で１００回を超えていましたが、次第に手順を減らして、６５回、６２回となりました。ここで「偶数はおかしいのと違うかな？」とＵ君の発言。
そこで何度も調べ直した結果、６３回が正しい結果だと分かりました。
この間、非常に便利なことに気付きました。それは、板の状態とそれまでにかかった手順を覚えておけば、もし数え間違えても、一から数えなおさなくてもよいということでした。ゲームで言う「セーブ」です（笑）。このことが後の実験をより単純確実なものにしました。
さらに、もっとも単純な「板が1枚の時」と「２枚の時」も補完したところ、次のような数字の並びが見えてきました。
板の数 1 2 3 4 5 6
手順 1 3 7 15 31 63
ここでＵ君が、数の増え方に規則性があることに気付きました。「差が２、４、８、１６、３２になってる」と。そして、「次は６４増えるのでは？」という予想を立てました。「やってみよう」とＫ君も協力を申し出ます。
Ｋ君は板を動かすコツを、得意のルービックキューブのように早いうちに掴んでいたので、彼の手順は確実でした。そして板が７枚の時は、１２７回であることが確かめました。こうなると次は１２８回増えて、２５５回のはずだと予想できます。
ハノイの塔（7枚までの結果）
板の数 1 2 3 4 5 6 7
手数 1 3 7 15 31 63 127
ここで、手数の解釈として、Ｕ君は「＋2、＋4、＋8、＋16、＋32、＋64…」と差分をとり、一方Ｋ君はというと、「前の数の２倍に１足したものになっている」と考えました。どちらも鋭いです。
さて今度はその増え方の「意味」の方に問題意識がうつります。
まずＫ君がひらめきました。Ｋ君は法則性を「理解」しようと、さっきの7枚の場合を、もう一度繰り返していました。すると１～６枚までをそっくり動かしたところでちょうど６３回。「？」と思ったようです。これは先の６枚の時と同じ手数です。そしてさらに、７の板を動かした後（＋１手）、その上に１～６の板を積み重ねるわけですが…
「あ、もしかして、この後も、６３回かかるんとちがう？」とＫ君。「どうして？」「だって、ここからも『６枚を（７枚目の板の上に）動かす』わけだから、さっきまでと同じ手順」「なるほど」「よし、もう一回やろう！」とさらに確かめます。
すると…
「あ！ □×２＋１は、□＋１＋□や！」とＫ君が叫ぶと、「な～るほど、そういうことだったのか！」とU君も納得。「この＋１は、一番大きい板を動かすために必要な１手のことをあらわしていたんや！」と何度もうなずいていました。
最初 途中 その次 最後
Ａ １２３４５６７ ７
Ｂ １２３４５６ １２３４５６
Ｃ ７ １２３４５６７
手数 ０ ＋６３ ＋１ ＋６３
ハノイの塔の考え方（Ｋ君主導）
手数は、□＋１＋□で計算できる。
ただし、□は「一つ前のハノイの塔にかかる手数」のこと。
例 １枚 ３
２枚 ７＝３＋１＋３
３枚 １５＝７＋１＋７
４枚 ３１＝１５＋１＋１５
ここまで分かった時、問題を出しました。
２０枚なら、何手かかるか？
もはや数えなくても、計算できるはずです。
そこでホワイトボードに２０枚までの表を書いてもらいました。Ｋ君に偶数、Ｕ君に奇数です。
（関数電卓で計算中）
（二人で１個飛ばしに答を書いていきます）
ところが問題が一つ発生しました。というのは、奇数と偶数に手分けして書いたため、「□＋１＋□」という式が１個ずれていたのでした。Ｕ君は１個飛ばしを考慮して「□×４＋１」と計算していたのでしたが、実は（□＋１＋□）×２＋１＝□×４＋３（中学生レベルの計算）となるはずなのでした。むむ、おしい！
「あれ？ おかしいぞ、答が…」「なんかぼくのとずれてるな…何で？」
そこで、Ｕ君がえらいのは、再び熟考したことです。そしてここから、新しいことを発見しました。
Ｕ君は最初、手数の増え方が「２、４、８、１６、３２、６４…」と増えることを発見しましたが、その意味はまだ分かりませんでした。けれどももう一度見直してみた時、ピンと来たのでした。
「もしかしてこれって、２×２×２×…ってこと？」と。その通りです！ Ｕ君はいつかお母さんにべき乗のことを教わっていて、それを思い出したのでした。
「ってことは…手順の１、３、７、１５、３１、６３、１２７…は、『□＋１＋□』でもあらわせるけど、『２×２×２×…－１』でもあわらせるってこと？……うん！ やっぱりそうなる！」とＵ君の熱心な説明に、Ｋ君もうなずきます。
というわけで、任意の板の数について、それにかかる手順を計算できる「式」を手に入れたのでした。
ハノイの塔の考え方（Ｕ君主導）
n枚の板のハノイの塔の手数は、2×2×…（これをn回）－1で計算できる。
一つのことを同時に二つの式であらわせたことは、大きな結果です。
「一つ前の手順の回数がわかっている時は、『□＋１＋□』の式の方が使いやすいけど、『２×２×２×…－１』の式は、いつでも使えるのが便利や」とＵ君は誇らしげです。
（ちなみに、２×２×…と電卓でたたくのは大変そうだったので、そこで関数電卓で魔法を一つ教えました。「^nというボタンを押したら、２^nが計算できるよ」と。すると、「おお！ 一発で答が…！」と感動してくれました（笑））
（完成。なんと20枚では、１０４８４７５回（100万回以上！）もかかると分かって、ビックリ）
実はハノイの塔は、高校数学の『数列』や『漸化式』を習う時に出てきます。それをまだ知らない彼らは、けれども一から積み重ねて考えることで、同じことに到達したのでした。いわゆる一から何でも作るという「無人島体験」でした。
こうした必然を積み重ねて予想外の結果を得られることは、年齢によって差別されることのない、数学のよさだと思います。
学校ではスマートな解法を教えてもらえるので、それを期待しがちです。このクラスでは、自分の手でそれを発見しようともがいているところがすばらしい。もっと言えば、それを一人でもがくのではなく、友と力を合わせて手に入れようと汗をかいています。冒険ですね。