岸本です。
急に涼しくなってきました。
こういう風に、季節の変わり目を実感すると、少し嬉しくもあり、悲しくもあります。
でも、自分の実力が上がってきていることを実感できるのは、嬉しいものだと思います。
今日は、計算の工夫と、パズルを行いました。
その応用として、1からa(任意の数)までの和を求める方法を探すそうと、1～20、1～30、…、1～80、1～90までの和をそれぞれ求めていたのですが、前回は途中で時間が来てしまいました。
そこで今回は、その続きから行いました。
一週間あいたので、方法を覚えているか心配していましたが、各項を組み合わせて、aを複数作っていく方法をしっかり覚えていました。
しかし、aの組み合わせが幾つできるのかがわからないというところで詰まってしまいました。
つまり、1～90までの和を求めるには、(1,89)や(39,41)のように、足して90となる組み合わせを作っていくのですが、その組み合わせがいくつ出来るのかわからないということです。
確かに、一つ一つ数えていては大変で、計算を単純化しようという本来の目的に逆行します。
そこで、aを小さい数に置き換え、それ対して、その組み合わせがいくつ出来るかを試しながら考えてみることにしました。
例えば、10に置き換えたら組み合わせは5つ、8ならば4つ、6ならば3つという風にです。
そして、こうした例を比べながら、組み合わせの数がaの半分になることに、帰納的に気づいてもらいました。
原理的には、aまでの項をふたつずつ組み合わせていくのですから、単純に項の数を２で割ることになります。
(実際は、組み合わせが出来ない項(a/2)があるのですが、単独でaになる最後の項をあわせることで、帳尻が合います)
これに気づくと、そこから更に、次のような公式を導くことが出来ます。
1からaまでの整数の和＝a×(a÷2)+(a÷2)
最初はいぶかしげに首をかしげていた子供さんですが、これを使って幾つか問題を見直していくことで、少しずつ理解できたようです。
更に幾つかの問題を解いてから、今度はaが奇数の場合を考えてもらいました。
というのも、これまでの問題はaが偶数であったため計算は楽でしたが、奇数となると、(a÷2)が小数になるためやや煩雑になるからです。
もっと簡単にできる方法はないのか、いろいろヒントを出しながら、方法を模索していきました。
ヒントとしては、式を二つに分けるということでした。
結論からいうと、a-1(偶数)までの和を計算し、最後にaを足す方法を、今回は使ってもらいました。
すこし難しかったと思いますが、他にも方法はあると思います。
時間がある時に、考えてみるのも良いかもしれません。
残りの時間は、数独を解いてもらいました。
もうすっかり得意になったようで、少し簡単な問題とはいえ、一問5分程度で解いていきました。
来週は、また論理パズルに挑戦しようと思います。