かず5～6年（0613）

福西です。S君が世界の国旗に興味があり、面白い本を持って来てくれました。
　
（『完全版・こっきのえほん』戸田やすし著、戸田デザイン研究所）

その本はS君の愛読書で、それですべての国旗と国名の対応を覚えたとのことです。「すごいなあ！」ということで、見せてもらいました。

そこで、授業ではその本を使って、算数の「集合」ということを考えてみました。

まず、国旗をいくつかの特徴で分類しました。

パターンA（形）

１）十字（スイス型）

２）ななめ入り（フィリピン型）

３）左上1/4区分あり（アメリカ型）

４）横の３本縞（ロシア型）

５）縦の３本縞（フランス型）

６）それ以外

（注意：授業ではそこまで厳密にはしませんでしたが、たとえばイギリスを１）、２）、６）のどこに入れるのかといったような細かな線引きを、調べているみんなで統一しておく必要があります）

 

パターンB（色の数）

１）１色

２）２色

３）３色

４）４色

５）５色

６）６色以上

 

パターンC（マーク）

１）太陽（丸、ギザギザの丸）（日本型）

２）星（アメリカ型）

３）月（トルコ型）

４）複雑な紋章・文字（ハイチ型）

６）それ以外（マークなし）

 

国旗はすべてが集まって、１つの集合（グループ）を作っています。

これを、

{世界の国旗}={アイスランド,アイルランド,・・・,レバノン,ロシア}

と表すことにします。（アイウエオ順）

それを上のように、
Aについて、
Bについて、
Cについて
と、それぞれ分類ができた時、

{世界の国旗}
={{A1},{A2},{A3},{A4},{A5},{A6}}
={{B1},{B2},{B3},{B4},{B5},{B6}}
={{C1},{C2},{C3},{C4},{C5}}

という新しい集合で見直すことができます。

{A4}などもまたそれ自体が集合です。（こういうのを「部分集合」といいます）

そこで、興味があるのは、

{A1}と{B1}などのそれぞれの集合が、重なりを持っている（つまりそこがまた新しい集合となる）ということです。

あるいは、全く重なりのないケースということもあるでしょう。（こういうのを「空集合」といいます。集合でいう0みたいなものです。）

たとえば、{A5}（縦3本縞）と、{B3}（3色）には、{フランス,ドイツ}などの「重なり」があります。

では、{A5}と、{B2}（2色）に共通するような国旗はあるでしょうか。

なければ、それは空集合です。

けれども、実は、あります。

ペルーやモンゴルがそれです。

となると、空集合という場合が、むしろ本当にそんなのあるのかな？というように思えてきます。どんな場合にも何かしら重なりがあるんじゃないか？と。

では、{A5}と{B1}（１色）で考えてみましょう。

1色なのに、3本縞という国旗はあるでしょうか。

これは、ないですね。

ということで、空集合もまた、見つけることができます。

 

そこで、次のような問題が作ることができます。

まず、Yuta君が完成させたAによる分類では、

{A4}（横3本）が一番多く、{A5}（左上1/4区分あり）が一番少なかった

とのことでした。

そしてYuto君が完成させたCによる分類では、

{C4}（複雑な紋章）が一番多く、{C3}（月）が一番少なかった

そうです。

では、一番多いもの同士の組み合わせで考えた問題。

{A4}と{C4}に共通するような集合は{世界の国旗}の中にあるでしょうか。

反対に、一番少ないもの同士の組み合わせで考えた問題。

{A5}と{C3}に共通するような集合は{世界の国旗}の中にあるでしょうか。

前者の問題では、

さっそく、「インド！」「イラン！」「スペインもある！」と、口々に見つかりました。

そして後者の問題でも、実は、

「あった！マレーシア！」

と見つけることができました。

確かに、二つの集合がともに大きければ、その重なりもありそうな期待が持てます（けれども必ずしもそうとは限りません）。

ところが、集合同士が小さいからと言って、重なりが全くないと言いきれないのが、意外な所です。

これはかなり難しい問題ですが、A、B、Cの集合をランダムに言った時、その共通集合が空集合である確率と、そうでない確率とは、どちらが大きいのかを推測するのも、面白いテーマだと思います。（私にも分かりません）

 

また、別の見方としては、それぞれの国旗は、A、B、Cの特徴について値を持っています。

たとえば、{日本}＝{A6}かつ{B2}かつ{C1}です。これを（A,B,C）=（6,2,1）と表すことにします。

さて、

日本以外で、（6,2,1）という国はあるでしょうか？

（実はあります。正解は記事の末尾にて）

こんなふうに問題を作って、来週は色々と遊んでみたいと思います。

この日の様子です。

（上の問題の答：バングラディシュ、パラオ）