福西です。
Y君は、マイナスの計算を練習した後、復習で小学6年生の学年末テストをしました。つるかめ算の問題が慣れていないとのことで、我流で困っている様子でした。それなので解き方を教えました。次回、補充問題をしようと思います。
またRちゃんは、文字式の乗除、代入、比の計算（内項と外項）をしてもらいました。また、学校で習っているところで質問があったので、それを受け付けました。「3桁の数を100a+10b+cと表すこと」や、「奇数＋奇数が偶数になる証明」についてでした。
残りの時間では、クラインの壺を作ってもらいました。以前メビウスの帯を切ったことの延長です。
クラインの壺は、筒の「中と外、外と中をつなぎ合わせる」ことでできます。
クラインの壺は本来、３次元ではなくて４次元でないと実現しない幾何（メビウスの輪がちょうど２次元ではなくて３次元でないと実現しないのと同様）なのですが、それを無理やり３次元で作りました。そして、真ん中を切ってみました。
すると、「見覚えのある形や！」とY君が言いました。
確かに「メビウスの帯」が２つできていることが確かめられました。
これは、ドーナツを真ん中で切ると普通の帯が二つできるのと同じ現象です。そしてドーナツは二つの帯をはり合せてできているとも言えます。それと同じく、クラインの壺はまさにメビウスの帯をはり合せてできていると言えます。
（クラインの壺）
（クラインの壺の裁断（２つのメビウスの帯））
【まとめ】
ふつうの帯：帯（2次元）の表と表、裏と裏をつなぐ。
メビウスの帯：帯（2次元）の表と裏を交互につなぐ。
ドーナツ： 筒（3次元）の内側と内側、外側と外側をつなぐ。（「ふつうの帯」の高次元版）
クラインの壺：筒（3次元）の内側と外側を交互につなぎ合わせる。（「メビウスの帯」の高次元版）