y=ax^2+bx+cのグラフが図で与えられているときに、a+b+cが正の数か負の数かを判別するという問題がありました。
頂点とかグラフの形（上に開いているか下に開いているか）から考えてもなかなかa+b+cにたどり着けませんでした。発想を変えて、x=1のときのyの値を見ればそれがa+b+cではないかとひらめきました。これをひらめくためにはf(x)=ax^2+bx+cとyではなくf(x)で考えたほうがよいです。
そもそも関数とは自動販売機のように、お金（x）を入れると品物（y）が出てくるという仕組みのことです。その仕組みをfという記号で表し、出てきた品物をyと表してもよいですが、xをfに入れた結果という意味合いを強調して、f(x)と表してもよいです。こうすると何を投入したかが見えやすくなります。