福西です。この日は「石段でグリコをして、ぴったりゴールできるのはどういう場合か」という問題を考えました。
シンプルな話題だけに、イメージはそうかたくないと思います。そこで今回は、生徒たちが問題を設定し、その拡張をいろいろと考えてくれました。
最初に考えた問題は、「11段を（3,5,7）の歩数でゴールすることは可能か？」というものでした。それは可能で、3、3、5と行けばゴールできます。（ここではまだ7は使いませんでした）。ではゴールの段数を変えてみるとどうなるかを考えてみました。すると、
1、2、4段は不可能で、
3、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20段は可能だと分かりました。
そして20段以降について、「すべて可能である」ということを言うために、途中で気付いた次の事実を利用しました。
11～20に10を足せば、21～30が作り出せる。
つまりこれを繰り返せば、以降の数についてはすべて「可能」だと結論付けることができました。
また、10は、5＋5または3＋7で作り出すことができます。
ここで「5が便利な数」だということに気づきました。（5はそれ1種類で、10を作り出せるため）
そこで次は、5を禁止して、「（3,7）なら可能か？」と問題を変えてみました。
3と7でも10は作り出せるので、先ほどの結果が変わることはありません。
ただし、もとの数にしている11～20のうち、11だけは作り出せません。
他の数は大丈夫です。念のため見ておきますと、
12＝3×4
13＝3＋3＋7
14＝7＋7
15＝3×5
16＝3+7+3+3
17＝3+7+7
18＝3×6
19＝3×4＋7
20＝（3+7）×2
（以降、上の結果に3＋7を足す）
となります。
さて11段のケースを解消するには、どうすれば（問題を作り変えれば）いいでしょうか。
一つには、使える歩数を変えることです。ただし使える歩数が「１」だと自明ですし、「２」でも小刻みすぎて面白くありません。となると、「3」以上となりますが、そこで1、2段目でのゴールは必然できなくなります。そこで、そのような小さな（たとえば10未満）の段数については無視するということも、問題の設定としては考えられます。
もう一つは、ゴールで中途半端に止まった時、折り返しを「あり」とする設定です。延々と折り返せばいつかはぴったりゴールできるのか、あるいはできないのかに興味が出てきます。この場合は、むしろ歩数の種類を１種類に制限して、それが何であれば可能であるかを考えてみると面白いということになりました。
ここから、問題の拡張の仕方には、少なくとも2通りあることが分かります。
定式化すると、以下のようになります。
１）折り返し「あり」の場合・・・任意の段数をゴールとする時、どんな２種類の歩数の組み合わせだったらゴール可能か？（ただし少ない段数については不可能があってもよいとする）
２）折り返し「なし」の場合・・・任意の段数をゴールとする時、どんな（１種類の）歩数だったらゴール可能か？あるいは不可能な種類の歩数はあるのか？
授業ではこの２つに絞って考察しましたが、他にもいろいろ派生して問題を見つけることができると思います。またそれは面白いことだと思います。
（「その２」に続きます）