かず６年（0703,0710）（その２）

福西です。「その１」からの続きです。

豆電球を１０個にして、実際に手で確かめてみました。

 

０）最初の状態（●＝OFF、○＝ON）

①●｜②●｜③●｜④●｜⑤●｜⑥●｜⑦●｜⑧●｜⑨●｜⑩●＝結果０

１）１の倍数のスイッチを入れる

①○｜②○｜③○｜④○｜⑤○｜⑥○｜⑦○｜⑧○｜⑨○｜⑩○＝結果１０

１の倍数は「すべての数」が該当するので、全灯します。

２）２の倍数のスイッチを入れる（２回ONしたところはOFFになります）

①○｜②●｜③○｜④●｜⑤○｜⑥●｜⑦○｜⑧●｜⑨○｜⑩●＝結果５

これで今、半分付いている状態になりました。

３）３の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④●｜⑤○｜⑥○｜⑦○｜⑧●｜⑨●｜⑩●＝結果４

ここで、生徒たちが気付いたのですが、「３の倍数のスイッチを入れた時、２の倍数から１個しか減らないのではないか？」という発見がありました。確かに前回１０００個の時は、２の倍数で500、３の倍数で499でした。これも何か手がかりになるかもしれません。

４）４の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤○｜⑥○｜⑦○｜⑧○｜⑨●｜⑩●＝結果６

今度は２個増えました。

５）５の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥○｜⑦○｜⑧○｜⑨●｜⑩○＝結果６

変化なし。

ただし、ここでまた、新たな発見がありました。

Ka君が言うには、「①、②、③、④といった古い（小さい）数の豆電球の状態は、この先ずっとこのままで、もう変化しないのではないか？」ということでした。

つまり、「①○｜②●｜③●｜④○」は、もう決定である、と。

それには私も気が付かずにいて、思わず「おお！」とうなりました。

確かに、今５の倍数たちが呼ばれていて、それに該当する豆電球は「ハイ！」となったわけですが、①～④には、もう関係ありません。そしてこの先呼ばれる数が６、７、８、９、１０と増えていっても、もはや自分と関係のある数が呼ばれることもありません。それどころか、⑤も次に同じ状況になります。

ということは、つまり、

「豆電球の状態は、小さい数から順番に固定化されていく」

ということです。これは大きな発見です！

これに気をよくした生徒たち二人は、どんどん手を進めていきました。

６）６の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥●|||⑦○｜⑧○｜⑨●｜⑩○＝結果５

１個減りました。そして、←|||までが「固定」です。

７）７の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥●｜⑦●|||⑧○｜⑨●｜⑩○＝結果４

８）８の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥●｜⑦●｜⑧●|||⑨●｜⑩○＝結果３

９）９の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥●｜⑦●｜⑧●｜⑨○|||⑩○＝結果４

そして最後に、

１０）１０の倍数のスイッチを入れる

①○｜②●｜③●｜④○｜⑤●｜⑥●｜⑦●｜⑧●｜⑨○｜⑩●|||＝結果３

というわけで、豆電球が10個の場合は、「１、４、９」の３つという結果になりました。

しかもこの結果は、数が増えていっても「固定」なので、豆電球が1000個の場合でも使えます。

頭だけで考えているうちは、いろいろと考え落としがあって、うまくいきません。けれども、そのギャップを埋めるために、こういう「当たり前」なところから始めていくと、なにかしら発見があるものです。要は「手を動かす」という作業がとても大事なのだと、改めて思いました。

 

さて、豆電球が10個の場合は、ついているのは3個だったわけですが、そこから予想してみると、この3というのは、絶対量としての３なのか、あるいは割合としての３なのか、というところで検討が分かれます。つまりこれがもし割合だったなら、100個で30、1000個で300ぐらいかな？と予想されます。

というわけで、次に100個の場合でも考え出しました。

さて、この日はKa君がめちゃくちゃ冴えていて、もう一つのことに気が付きました。

「素数は消えたままではないのか？」

と。

そう言って、実際に２、３、５、７、１１、１３・・・という数を挙げながら説明してくれました。

「だって、２は、１の倍数の時に１回ついて、そのあと２の倍数の時にもう１回、つまり消える。でも、そのあとはもう２は関係ないし、ずっと消えたままで固定」

「３も、１の倍数でついて、３の倍数の時に消えて、あとはそのまま」

「５も、１の倍数でついて、次にスイッチが入るのが、５の時だから（だって５は素数だから）、ここで消えて、あとはそのまま」

「７も、１１も、１３も、素数は、結局、１の倍数でついたあとに、スイッチが入るチャンスは、自分自身の数の時だけ。で、自分自身の数を通り過ぎたあとは、ずっと固定。だから、素数は、結局全部消えたままになる！」

おお、確かにそうですね！納得です。

もちろん、Ka君の発見は、1000個のうちの「すべて」、ではないわけですが、ある意味、「素数以外に絞れた」とも言えるわけです。

素数以外、とは、つまり、どういうことでしょうか？

素数でなければ、それは「合成数」ということです。

 

また、素数は奇数でもあるので、ここで偶数について調べれば、「素数以外の奇数に絞れる」ことになります。

あるいは、素数とは、「約数を１と自分自身しか持たない数」なわけですが、合成数とは、「１と自分自身以外にも約数がある数」です。

はて、約数を調べるには、どうしたらよかったでしょうか？？

授業では、ここで時間がきてしまい、「夏休みの宿題」ということになりました。

（この時点では、まだ私も答を見つけていなかったので、「どちらが先に答を見つけるか、勝負だ！」と生徒たちと約束し合いました^^）

 

というわけで、素数がアイデアに浮かんできたおかげで、次に「約数」というものがうっすらと視界に入ってきたように思います。

あるいは、「偶数、奇数」というのも、重要なターゲットになってきそうです。

むむむ！？

Ka君、Yu君！　これまで学校で習ったことを総動員して、ぶち当たってみてください（^^）

そして、秋学期の最初の授業で、答合せをしましょう！

 

問題（再掲）

豆電球が1000個あり、1～1000まで番号が付いている。

そしてその豆電球にはそれぞれスイッチが付いており、1回スイッチを入れるごとにON、OFFが切り替わる。

ONの時は「明るく」なり、OFFの時は「暗く」なる。

最初は全部の豆電球はOFFの状態である。

以下、1の倍数、2の倍数、3の倍数・・・1000の倍数と順に、その番号のついた豆電球のスイッチを入れていく。

果たして、最後の状態では、「明るい」豆電球はいくつあるか？

 

実際、これは夏休みの自由研究としても、とてもいい問題だと思います。

問題設定自体は、とてもシンプルです。それでいて、分かった時は、すごく嬉しいです！

実は先のKa君の「素数に注目したこと」がヒントになって、私は授業のあとに答が分かったのですが、その時私も「飛び上るくらい」嬉しかったです。『数学には精神に直接的な喜びがある』というのは、このことを指すのだと実感しました。

みなさんもぜひ一度お考えになってみてはいかがでしょうか。

 

（ヒント：豆電球10個で考えた時に、実際に3個ついていたわけですが、すでにある法則性が見えています）