かず６年（0703,0710）（その１）

福西です。

春学期の最後は、次のような問題を考えました。

 

問い

豆電球が1000個あり、1～1000まで番号が付いている。

そしてその豆電球にはそれぞれスイッチが付いており、1回スイッチを入れるごとにON、OFFが切り替わる。

ONの時は「明るく」なり、OFFの時は「暗く」なる。

最初は全部の豆電球はOFFの状態である。

以下、1の倍数、2の倍数、3の倍数・・・1000の倍数と順に、その番号のついた豆電球のスイッチを入れていく。

果たして、最後の状態では、「明るい」豆電球はいくつあるか？

１の倍数で、全部が付く。

２の倍数で、半分が消えます。

さて、３の倍数で・・・というと、どうなるでしょうか。

生徒たちは、３の倍数の個数が、以下のような分数による計算で求められることに気づきました。

1000÷3≒333個（切り捨て）

ここで、小数で出さないのがミソです。

同様に振り返ると、

1の倍数は、1000÷1＝1000個

2の倍数は、1000÷2＝500個

と、いずれも分数（と切り捨て）で統一的に計算できることが見て取れます。

図にかくと、こんな感じになります。

　

問題は、6の倍数のところがダブっていることです。

立体的にかくと、こんな感じです。

 

2の倍数と3の倍数を単純に足すと、足しすぎているところが生じます。それが6の倍数の部分です。

そこで、6の倍数の個数を計算する必要が出てきました。

1000÷6≒166（切り捨て）

これにより、「2の倍数」または「3の倍数」である個数は、

1000/2＋1000/3－1000/6＝500＋333－166＝667個（ただし各分数は切り捨て）（注）

と求まります。

（注）小学生は「ガウスの整数」の記号をまだ習っていないので、このような言い表し方をしています。

そして、それを全体から引いて、

1000－667＝333個

が、「2の倍数」でも「3の倍数」でもない個数となります。

しかし、これでやれやれと思いきや、よく考えたら、問題の意図は、「明るい豆電球の個数はいくらか？」なので、これではまだ答になっていません。

6の倍数のところは、実際には「明るい」ので、これは足さなくてはいけません。よって、

333＋166＝499個

が「3の倍数までスイッチを入れた」時の状態となります。

あれ？

よく見ると、500個（2の倍数のスイッチを入れた時）から、1個しか減っていませんね。

ムムム、これは不思議！

しかし途中の計算で、考え違いは見当たりません。式に直すと、

1000－1000/2－1000/3＋1000/6＋1000/6（ただし各分数は切り捨て）

となります。

ここでぱっと見て気付くことは、1000/6を2回足していることです。これはややこしいですね。こんなので法則性が見つかるのでしょうか・・・？

さて、次は、４の倍数のスイッチを入れてみます。

すると・・・

　

と、左の図のようにきれいになるかと思いきや、右のような形となってしまいます。これではどこを足して、どこを引いたらいいのか、早くもこんがらがってしまいました。次に５の倍数、６の倍数・・・となると、もうお手上げです。

分数による計算は、こうやって頓挫してしまいました。

そこで、今度は別のあたりを付けるために、問題を単純にしてみました。

豆電球が1000個だから大変なのであって、10個にして考えてみれば、何か見通しがつくのでは？と考えたわけです。

（つづく）