二次関数の平方完成について質問を受けたので、これを機会にまとめておきます。この平方完成は二次関数の大きな山場で、ここでつまずく人も多いところです。
y＝x^2, y＝3x^2といった、y＝ax^2の形であればグラフをかくことができるという前提で話を進めます。それを前提にして、y＝x^2－2x－3といったy＝ax^2＋bx＋cという一般形のグラフをかくのが目標です。
天下り的に平方完成の手順を紹介します。
y＝x^2－2x－3
⇔y＝x^2－2x＋1－1－3
⇔y＝(x－1)^2－4
⇔y＋4＝(x－1)^2
これが平方完成です。ここでy＋4＝Y, x－1＝Xとみなせば、Y＝X^2の形になります。そして、x＝1のときX＝0, x＝2のときX＝1, x＝3のときX＝2という対応関係がありますし、y＝1のときY＝5, y＝2のときY＝6, y＝3のときY＝7という対応関係もあります。表をかけば一目瞭然ですが、Xに１を足せばxになりますし、Yから４を引けばyになります。よって目標のグラフはY＝X^2のグラフをx軸方向に1、y軸方向に－4だけ平行移動したものになります。
慣れれば何も考えずに平方完成をして、頂点の座標と形（y＝ax^2のa）を読み取ればグラフをかくことができます。